Теорія ймовірностей і математична статистика
1.Теоретіческая ЧАСТИНА
.1 Збіжність послідовностей випадкових величин та імовірнісних розподілів
У теорії ймовірностей доводиться мати справу з різними видами збіжності випадкових величин. Розглянемо такі основні види збіжності: за ймовірністю, з імовірністю одиниця, середньому порядку р, за розподілом. p> Нехай,, ... - випадкові величини, задані на деякому вероятностном просторі (, Ф, P).
Визначення 1. Послідовність випадкових величин, ... називається збіжної за ймовірністю до випадкової величиною (позначення:), якщо для будь-якого> 0
{>} 0, n.
Визначення 2. Послідовність випадкових величин,, ... називається збіжної з імовірністю одиниця (майже напевно, майже всюди) до випадкової величиною, якщо
{:} = 0,
тобто якщо безліч фіналів, для яких () не сходяться до (), має нульову ймовірність.
Цей вид збіжності позначають таким чином:, або, або.
Визначення 3. Послідовність випадкових величин,, ... називається збіжної в середньому порядку р, 0
0, n.
Визначення 4. Послідовність випадкових величин,, ... називається збіжної з розподілу до випадкової величиною (позначення:), якщо для будь-якої обмеженою безперервної функції
M, n.
Збіжність за розподілом випадкових величин визначається тільки в термінах збіжності їх функцій розподілу. Тому про це вигляді збіжності має сенс говорити і тоді, коли випадкові величини задані на різних імовірнісних просторах. p> Теорема 1.
а) Для того щоб (Р-П.Н.), необхідно і достатньо, щоб для будь-якого> 0
{} 0, n.
) Послідовність {} фундаментальна з імовірністю одиниця тоді і тільки тоді, коли для будь-якого> 0.
{} 0, n.
Доказ.
а) Нехай А = {: | - |}, А = А. Тоді
{:} ==
Але
() = P (),
Тому твердження а) є результатом наступного ланцюжка імплікацій:
Р {:} = 0 P () = 0 = 0 Р (А) = 0, m 1 P (A) = 0,> 0 P () 0, n 0,> 0 P {} 0 ,
n 0,> 0.) Позначимо = {:}, =. Тоді {: {()} не фундаментальну} = і так само, як у а) показується, що {: {()} не фундаментальну} = 0 P {} 0, n. p> Теорема доведена
Теорема 2. (Критерій Коші збіжності майже напевно)
Для того щоб послідовність випадкових величин {} була сходящейся з імовірністю одиниця (до деякої випадкової величиною), необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальна з імовірністю одиниця.
Доказ.
Якщо, то +
звідки випливає необхідність умови теореми.
Нехай тепер послідовність {} фундаментальна з імовірністю одиниця. Позначимо L = {: {()} співпадіння фундаментальна}. Тоді для всіх числова послідовність {} є фундаментальною і, згідно з крите...
