Рішення диференціальних рівнянь методом Ейлера в Excel
У зв'язку з інтенсивним впровадженням досить хороших персональних комп'ютерів з розвиненими операційними системами виникла необхідність розробки методик застосування універсальних програм для вирішення практичних завдань. Сімейство операційних систем Windows завоювало ринок операційних систем для персональних комп'ютерів. До складу Windows входить стандартний набір додатків, які методично грамотний користувач може пристосувати для вирішення будь-якої інженерної задачі. Всі додатки Windows вимагають від користувача однотипних сенсомоторних і розумових навичок. Це дає можливість користувачеві з найменшими витратами освоювати нові засоби і створювати методики для вирішення завдань обраного класу за допомогою стандартних додатків. Для моделювання та дослідження систем і технічних об'єктів табличний редактор Excel має всі необхідні засоби для швидкого створення моделі та отримання наочних результатів моделювання. Це створення табличних моделей з мінімальними витратами часу за рахунок застосування різних способів копіювання та заповнення таблиць. Представлення результатів рішень у вигляді діаграми. Робота з базами даних. Створення наочних динамічних моделей за рахунок «пожвавлення» моделі за допомогою макросів. Впровадження і зв'язування таблиць з текстовими документами, що спрощує ведення і написання звітів.
Відомі методики для вирішення економічних завдань і завдань статичної оптимізації, а також для реалізації деякого набору чисельних методів [1,2]. Однак, фактично немає публікації про застосування Excel для дослідження технологічних процесів. Технологічні процеси, як правило, необхідно розглядати як взаємодія динамічних об'єктів. Динамічні об'єкти - це об'єкти, для яких не можна знехтувати зміною стану в часі - t. Динамічні об'єкти описуються диференціальними рівняннями. Для дослідження і моделювання динамічних об'єктів застосовуються відомі чисельні методи: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта і Адамса [3].
Нехай потрібно знайти закон руху об'єкта y (t) на відрізку [t 0, tk], якому належить t. Заданно диференціальне рівняння
=? (t, у, u (t)) , (1)
початкові умови у (t 0 )=у 0 , (2)
функція управління u (t) .
Допущення, прийняте в обчислювальній моделі методу Ейлера, полягає в тому, що на деякій досить малому інтервалі часу h передбачається допустимим знехтувати зміною похідною . Завдання вирішується в дискретному часі. Безліч рівновіддалених моментів часу T=(t0, t1, t2, ..., tk) і безліч значень функції в ці моменти часу визначають закон руху об'єкта. На підставі (1) і (2) організуються рекурентні обчислення (табл. 1), де h=ti - ti - 1, i=1 .. k.
Таблиця. Формули методу Ейлера (об'єкт 1-го порядку)
0 1 2 ......... ... ... k
Перенесення формул табл. на лист книги Excel з урахуванням правил введення формул дозволяє отримати табличну модель процесу руху. Початковий момент часу () і початкові умови () вводяться як числові константи. Формула вводиться тільки в верхній осередок кожного стовпця. Решта комірки з...
