Реферат
Потенційна точність вимірювання параметрів сигналу
1. Потенційна точність вимірювання параметрів
Потенційна точність вимірювання визначається помилкою оцінки параметра по максимуму кореляційного інтеграла. При цьому розглянемо випадок великого перевищення сигналу над шумом, тобто:
.
У цьому випадку максимум функції розташований поблизу істинного значення. У граничному випадку (наприклад, при відсутності шумів) оцінка по максимуму функції правдоподібності збігається з істинним значенням вимірюваного параметра.
У реальних системах - кінцева величина, але зазвичай досить великої величини, так що:
.
Параметр в цьому випадку можна вважати малим. Тоді, в цьому випадку, оцінку можна представити у вигляді ряду за ступенями малого параметра:
;
де: - нульове наближення оцінки вимірюваного параметра; і т.д.- Поправки до наступних наближенням, які необхідно визначити. Для простого розгляду обмежимося першим наближенням, тобто будемо вважати, що:
;
Отже, вихідні передумови: на вхід приймача надходить суміш сигнал з шумом:. Причому: - статистичні характеристики шуму відомі.
Кореляційний інтеграл на виході кореляційного приймача можна представити у вигляді:
;
де: і є перетвореними «сигналом» і «шумом» на виході оптимального кореляційного приймача.
Властивості функцій і:
- нормована АКФ вхідного корисного сигналу; по оцінюваному параметру вона симетрична відносно і залежить тільки від абсолютного значення різниці, причому при: (властивість АКФ);
- нормований випадковий процес, що залежить від параметра. Т.к. середнє значення шуму, то і середнє значення.
Отже, якщо відомо співвідношення сигнал / шум, то для знаходження оцінки необхідно знайти поправку. Для цього необхідно праву частину рівняння:
, де:;
розкладемо в ряд Тейлора в околиці точки. Врахуємо, що в точці максимуму повинна виконуватися умова:. Ряд Тейлора:
У розкладанні ряду обмежимося двома першими членами:
;
Прирівнюючи члени з в першого ступеня, отримаємо:
;
Звідси:
;
Статистичні характеристики і визначають помилку вимірювання. Абсолютна помилка:
.
Середнє значення помилки:
;
Т.к. , То, отже,.
Звідси випливає, що оцінка параметра по максимуму функції правдоподібності при великих співвідношеннях сигнал / шум є незміщеної.
Статистичні характеристики величини визначають помилки оцінки:
