пишемо однорідну систему лінійних диференціальних рівнянь:
Якщо в матриці системи всі=const, то дана система називається системою з постійними коефіцієнтами або з постійною матрицею.
Фундаментальною системою рішень однорідної лінійної системи рівнянь називається n лінійно незалежних рішень цієї системи.
Для побудови фундаментальної системи рішень диференціального рівняння необхідно знайти власні числа характеристичного полінома, оскільки залежно від їх виду (характеристичні числа можуть бути дійсними різними, кратними, комплексними) будується фундаментальна система рішень.
Для того щоб ця система n лінійних однорідних рівнянь з n невідомими мала нетривіальне рішення, необхідно і достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю:
(5)
З цього рівняння ступеня n визначається значення? , При яких система має нетривіальні рішення. Рівняння (5) називається характеристичним.
Запишемо характеристичний поліном, для цього скористаємося формулою для його обчислення DET (A-? E)=0, де А - вихідна матриця, Е - еденічние матриця:
Отримали поліном четвертого порядку, отже, коренів характерістчісекого полінома має бути 4.
Для знаходження власних чисел скористаємося функцією SOLVE, яка повертає характеристичні числа матриці А в вектор l. Отримаємо:
Отримали два дійсних кореня, що не відповідає порядку полінома, значить, серед них є кратні. Розкладемо многочлен на прості множники за допомогою функції FACTOR:
Тепер бачимо, що маємо дійсні різне коріння кратності 2.
Тоді функції, що утворюють ФСР приймуть вигляд:
Матрицю y (x), стовпцями якої є рішення, що утворюють фундаментальну систему, називають фундаментальною матрицею.
І спільне рішення системи буде виглядати наступним чином:
Знайдемо рішення даної системи за допомогою методу Ейлера.
4. Побудова фундаментальної матриці методом Ейлера
Метод Ейлера полягає в наступному.
Рішення системи (1) знаходиться у вигляді:
(6)
Функція (6) є рішенням системи (1), якщо - власне значення матриці А, а а-власний вектор цієї матриці, що відповідає числу.
Випадок дійсних різних коренів
Якщо власні значення? 1,? 2, ...,? n матриці А дійсні різні і? 1,? 2, ...,? n відповідні власні вектори цієї матриці, то загальне рішення системи (2) визначається формулою:
(7)
де c1, c2, ..., cn - довільні константи.
Випадок кратних коренів
Нехай? km - кратний корінь, тоді рішення системи приймає вигляд:
(8)
n - порядок системи, в нашому випадку n=4. Pi (x) - поліноми в ступені m - 1, що мають у сукупності m довільних коефіцієнтів. Серед коефіцієнтів цих поліномів m коефіцієнтів є довільними, а що залишилися n? Mm виражаються через них. Для відшукання коефіцієнтів поліномів підставимо рішення (8) у вихідну систему рівнянь (2), прирівняємо коефіцієнти при однакових функціях. Вирішимо систему по відношенню до n? Mm коефіцієнтів. Отримаємо вир...
