КОНСПЕКТ
з дисципліни В«Математичні моделі в менеджменті та маркетингу В»
В
1. МЕТОДИ багатокритеріальної оптимізації
У реальних системах управління задачу оптимізації доводиться вирішувати з урахуванням декількох критеріїв ефективності одночасно. У випадку завдання багатокритеріальної (Векторної) оптимізації ставиться таким чином. p> Є безліч X різних (альтернативних) варіантів вирішення завдання управління. Варіант рішення - Це конкретне значення вектора параметрів управління, тобто конкретний варіант плану виробництва, або варіант завантаження обладнання, або варіант стратегії управління тощо
Кожен варіант рішення х € Х оцінюється вектором критеріїв
В
Очевидно варіант Х В° є строго оптимальним, якщо
В
де y i ext - мінімальне або максимальне значення критерію y i , залежно від вимог оптимізації.
Однак у реальних системах існування суворо оптимального рішення У В° малоймовірно, а часто і неможливо через суперечливість взаємопов'язаних критеріїв. Наприклад, при зростанні обсягів виробництва зростає і витрата ресурсів, хоча обсяг треба максимізувати, а ресурси мінімізувати.
Практичний інтерес представляє пошук існуючих варіантів, близьких до оптимального. Такими варіантами є так звані Парето-оптимальні варіанти, складові безліч P ГЊ X •
Варіант x * ГЋ Р якщо значення приватного критерію y i ( x *) для будь-якого i , можна поліпшити лише за рахунок погіршення інших приватних критеріїв. Іншими словами, варіант X оптимальний за Парето, якщо не знайдеться ні одного іншого варіанту X '€ Х , такого, для якого
В
причому хоча б для одного i виконується
В
Тут і далі передбачається, що всі приватні критерії треба мінімізувати.
Для пошуку Х ГЋ Р використовується два підходи:
В§ векторний критерій У перетворює (Згортають) в узагальнений скалярний критерій Yc а потім застосовують відомі однокритеріальних методи оптимізації (лінійне, нелінійне, стохастичне програмування і т.п.);
В§ застосовують спеціальні методи багатокритеріальної оптимізації безпосередньо по векторному критерію У . .
Розглянемо деякі способи згортки. Найбільш простий спосіб - зважене лінійне підсумовування приватних критеріїв .
В
В
де a-коефіцієнт важливості (вага) приватного критерію Y i . . Для визначення значень коефіцієнтів застосовують експертні методи. Використовувати лінійну згортку підсумовуванням не можна, якщо існує нелінійна залежність приватних критеріїв між собою.
Якщо один з приватних критеріїв набагато важливіше інших, для яких відомі їх гранично допустимі значення b i , то оптимізація проводиться по найбільш важливого (головному) критерієм Ус = Y i а для решти критеріїв встановлюються обмеження:
В
Якщо вдалося впорядкувати всі приватні критерії по важливості, але не вдалося визначити їх вага a та граничні значення b, то можна спробувати використати метод послідовних поступок. У цьому методі на першому кроці проводиться пошук X 1 * , оптимального за найважливішого критерію y 1 . Решта критеріїв при цьому ігноруються. На 2-му кроці виконується пошук Х * 2 , Оптимального за критерієм y 2 а на погіршення критерію y 1 накладається обмеження
В
де D 1 - поступка, характеризує допустиме відхилення y 1 від його мінімального значення, знайденого на 1-му кроці.
Для простоти передбачається, що всі критерії треба мінімізувати.
На t , - му кроці відшукується X t * , для якого
В
Нарешті, на n. -Му кроці відшукується X * = X n , для якого
В
Ще один спосіб згортки - вибір в якості узагальненого скалярного критерію евклідова відстані аналізованого варіанта X до строго оптимального (ідеального) варіанта Х В°. Сам варіант X 0 може не існувати, але так як вимір відстані виконується в критеріальною просторі, то повинні бути відомі екстремальні значення цих критеріїв.
Згортка в цьому випадку має вигляд
В
Зауваження I. Для оптимізації по У з, (зважене підсумовування , евклідова відстань) або для покрокової оптимізації за приватним критеріям (методи головного критерію і послідовник них поступок) необхідно обчислювати значення приватних критеріїв
По суті необхідно вирішувати завдання прогнозу та оптимізації по кожному...
