Введення
Багато фізичні закони, яким підкоряються ті чи інші явища, записуються у вигляді математичного рівняння, що виражає певну залежність між якимись величинами. Часто мова йде про співвідношення між величинами, що змінюються з плином часу, наприклад економічність двигуна, вимірювана відстанню, яке автомашина може проїхати на одному літрі пального, залежить від швидкості руху автомашини.
Диференційним рівнянням називається співвідношення між функціями та їх похідними. У даній роботі розглянуті рівняння в повних диференціалах. Фізичний зміст цих рівнянь в тому, що вони показують елементарну роботу в потенційному силовому полі.
Дана робота несе реферативний характер.
Курсова робота містить 4 глави.
У першій описуються основні визначення та затвердження, необхідні для вивчення даного питання. У другому розділі розглянута і доведена теорема існування та єдиності розв'язку.
У третьому розділі розглядається алгоритм розв'язання рівнянь в повних диференціалах та приклади. У четвертому розділі розглядається інтегруючий множник і приклади.
1. Основні поняття та визначення
диференційний рівняння теорема
Визначення 1.1
Нехай функція y=f (x) визначена в деякій околиці точки x0, (включаючи саму цю точку). Якщо існує границя відношення приросту функції Дy=f (x0 + Дx)? f (x0) до викликав його приросту аргументу Дx, коли Дx? 0, то ця межа називається похідною функції y=f (x) у точці x0 і позначається символом f '(x0), тобто
Визначення 1.2
Розглянемо функцію двох змінних n=2; z=f (x, y).
Приватної похідною функції z=f (x, y) в точці (x0, y0) D (у) за відповідною змінною називається границя відношення приватного приросту функції по цій змінній до приросту цієї змінної, коли прирощення змінної прагне до нуля (якщо ця межа існує і кінцевий).
,
.
Визначення 1.3
Нехай функція y=f (x) визначена в деякій околиці точки x0. Функція f (x) називається диференційованою в точці х0, якщо її приріст представимо у вигляді
x0 +) - f (x0)=A + o (,
де A - число, що не залежить від Дх, а o (Дx) - функція вищого порядку малості ніж Дx при Дх? 0.
Визначення 1.4
Лінійна частина приросту функції, що диференціюється називається диференціалом у точці х0 і позначається символом df (x0), тобто df (x0)=A
Визначення 1.5 Якщо функція z=f (x; y) диференційована в точці P0 (x0; y0), то головна, лінійна відносно приросту аргументів, частина її повного прирощення називається повним диференціалом функції і позначається
=df (x0; y0)=(x0; y0)? x + (x0; y0)? y.
Визначення 1.6 Загальне рішення диференціального рівняння - це співвідношення виду y=y (x, C1, C2, C3, ... Cn), залежне від n довільних постійних.
Визначення 1.7 Загальний інтеграл диференціального рівняння - це спільне рішення, яке має неявний вид Ф (x, y, C1, C2, C3, ... Cn)=0.
Визначення 1.8 Приватний інтеграл диференціального рівняння - це загальний інтеграл при заданих значеннях постійних C1...
