, C2, C3, ... Cn.
Визначення 1.9 Інтегральною кривої називається графік вирішення геометрично невизначеного інтеграла (первообразной), що представляє собою сімейство «паралельних» кривих y=F (x) + C, де кожному C відповідає певна крива сімейства.
Визначення 1.10 Функція ?=? (x, y)? 0 називається інтегруючим множником для рівняння P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0, якщо рівняння
? (x, y) P (x, y) dx + ? (x, y) Q (x, y) dy=0
є диференціальним рівнянням в повних диференціалах. Інтегруючий множник задовольняє рівнянню
Q =. Якщо
(не залежить від y), то. Аналогічно, якщо (не залежить від x), то
Теорема 1.1 Нехай функція F (u, х, у) диференційована в деякій, околиці точки M0 (u0, х0, у0) простору R, причому приватна похідна неперервна в точці M0. Тоді, якщо в точці M0 функція F звертається в нуль, а приватна похідна не звертається в нуль, то для будь-якого достатньо малого позитивного числа е, знайдеться така околиця точки M0 (х0, у0) простору R ', що в межах цієї околиці існує єдина функція u=ц (х, у), яка задовольняє умові | u - u0 | < е і є рішенням рівняння F (х, у, u)=0, причому ця функція u=ц (х, у) неперервна і диференційовна в зазначеній околиці точки M0.
2. Рівняння в повних диференціалах
Визначення 2.1 Диференціальне рівняння виду
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
називається рівнянням в повних диференціалах, якщо існує така функція двох змінних u (x, y) з безперервними приватними похідними, що справедливо вираз
du (x, y)=P (x, y) dx + Q (x, y) dy.
Загальне рішення рівняння в повних диференціалах визначається формулою
u (x, y)=C,
де C? довільна постійна.
Теорема 2.1 Щоб диференціальне вираз, де функції P і Q визначені і неперервні в області D площини XOY і мають у ній безперервні приватні похідні, представляло повний диференціал деякої функції u (х, у), необхідно і достатньо, щоб у всіх точках області D була виконана умова
Доказ.
Необхідність. Нехай існує функція u (х, у) така, що виконується рівність P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
Доведемо, що тоді виконується і рівність
.
За визначенням повного диференціала
dy,
але тоді з P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0 випливає, що
, Q (x, y)
Диференціюючи обидві частини цих рівностей:
,,
отже
Оскільки змішані похідні дорівнюють, необхідність доведена.
Достатність. Нехай рівність виконується. Треба довести, що і P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0 в цьому випадку справедливо, тобто виконується співвідношення
dx +.
Таким чином, завдання зводиться до відшукання функції u (х, у), приватні похідні якої підкорялися б равенствам
і Q (x, y).
Знайдемо цю функцію. Проинтегрируем рівняння, записавши рішення у вигляді:
U (x, y)=
де (x0, y0) належить D,
ц (y) - довільна функція аргументу у, що замінює довільну постійну, оскільки інтегрування виробле...
