езлічі ортогональні і норма кожного елемента дорівнює одиниці.
1.2 ортонормированного системи функцій та їх властивості
Поняття ортогональних многочленів було введено в кінці XIX в. в роботах Чебишева П. Л. [n] по безперервним дробям і пізніше розвинене Марковим А. А. і Стилт'єсу Т. І. і знайшло різні застосування в багатьох областях математики і фізики.
У математиці послідовністю ортогональних многочленів називають нескінченну послідовність дійсних многочленів
де кожен многочлен має ступінь, а також будь-які два різних многочлена цієї послідовності ортогональні один одному в сенсі деякого скалярного твори, заданого в просторі.
Нехай - проміжок на речовій осі (кінцевий або нескінченний). Цей проміжок називається інтервалом ортогональности. Нехай задана безперервна, суворо позитивна всередині проміжку функція. Така функція називається ваговій або просто вагою. Функція пов'язана з простором функцій, для яких сходиться інтеграл.
В отриманому просторі можна ввести скалярний твір за формулою.
Якщо скалярний добуток двох функцій дорівнює нулю, то такі функції називаються ортогональними з вагою. Як правило, серед ортогональних поліномів розглядаються тільки речові функції.
Систему многочленів називають ортогональною, якщо
. - многочлен ступеня,
., де - символ Кронекера, - нормувальний множник.
Ортогональний базис називається ортонормированного, якщо всі його елементи мають одиничну норму,
.
1.3 Ряди Фур'є
Нехай
(1)
нескінченна ортогональна на система функцій. Припустимо, що деяку функцію представили у вигляді лінійної комбінації:
(2)
Права частина (2) називається многочленом, де - деяка константа системи функцій (1). Домножим праву і ліву частину виразу (2) на, де і проинтегрируем праву і ліву частини на.
,
. (3)
Коефіцієнт визначається за формулою (3) називається коефіцієнтом Фур'є для функції по ортогональній системі функцій (1) .
Визначення : Нехай функція безперервна або розривна (допускається розрив першого роду), задана на, для якої інтеграли виду (3) дозволяють обчислити для функції коефіцієнт Фур'є з будь-яким. Ряд виду
(4)
де - коефіцієнти Фур'є, звані поруч Фур'є для функції за системою функції (1).
1.4 Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є
Нехай функція визначена на інтервалі та її квадрат інтегруємо з вагою по цьому інтервалу. Як звичайно, безліч таких функцій будемо позначати. Всякої функції ставиться у відповідність вагова норма
(5)
Для кожної функції з простору можна визначити коефіцієнти Фур'є
(6)
і розглядати ряд Фур'є по ортонормированного многочленів
(7)
Як і у всяких ортогональних рядів, часткові суми ряду (7) є в деякому сенсі найкращими наближеннями функції.
Справді, для довільного многочлена ступеня
(8)
як звичайно, маємо
Зокрема, для часткових сум ряду (7)
(9)
Таким чином, при кожному часткова сума (9) дає найкраще середнє квадратичне наближення функц...
