Курсова робота
Тема: «Mathcad: Рішення диференціальних рівнянь і їх систем»
Завдання на курсову роботу
Завдання 1. Отримати точне рішення диференціального рівняння вручну, операторних методом, наближене рішення за допомогою рядів (до 5 елементу ряду) на інтервалі [0; 1], чисельне рішення методами Ейлера і Рунге-кутти, представити спільне графічне рішення ДУ всіма способами. Розрахувати відносну і абсолютну похибку методів Ейлера і Рунге-кутти. Розрахувати відносну і абсолютну похибку всіх методів з використанням точного рішення.
Завдання 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь, отримати точне рішення вручну, операторних методом, наближене рішення за допомогою рядів (до 5 елементу ряду) на інтервалі [0; 1], чисельне рішення методами Ейлера і Рунге-кутти. Уявити спільне графічне рішення, розрахувати локальну відносну і абсолютну похибку.
Зміст
Введення
Завдання 1
Класичний спосіб
Операторний метод
Рішення за допомогою рядів
Метод Ейлера
Метод Рунге-кутти
Спільне графічне рішення
Завдання 2
Класичний спосіб
Операторний метод
Рішення за допомогою рядів
Метод Ейлера
Метод Рунге-кутти
Спільне графічне рішення
Висновок
Список використаних джерел
Введення
- система комп'ютерної алгебри з класу систем автоматизованого проектування, орієнтована на підготовку інтерактивних документів з обчисленнями і візуальним супроводом, відрізняється легкістю використання та застосування для колективної роботи.
Основні можливості: містить сотні операторів і вбудованих функцій для вирішення різних технічних завдань. Програма дозволяє виконувати чисельні і символьні обчислення, проводити операції з скалярними величинами, векторами і матрицями, автоматично переводити одні одиниці вимірювання в інші.
Серед можливостей MathCad можна виділити:
Рішення диференціальних рівнянь, в тому числі і чисельними методами
Побудова двовимірних і тривимірних графіків функцій (в різних системах координат, контурні, векторні і т. д.)
Використання грецького алфавіту, як в рівняннях, так і в тексті
Виконання обчислень в символьному режимі
Виконання операцій з векторами і матрицями
Символьний розв'язок систем рівнянь
Апроксимація кривих
Виконання підпрограм
Пошук коренів многочленів і функцій
Проведення статистичних розрахунків і робота з розподілом ймовірностей
Пошук власних чисел і векторів
Обчислення з одиницями виміру
Інтеграція з САПР системами, використання результатів обчислень в якості керуючих параметрів
[1]
Завдання 1.
Класичний метод
Вирішимо характеристичне рівняння:
Загальне рішення ЛОДР:
Знайдемо приватне рішення:
Загальне рішення даного ДУ:
Підставами початкові умови і вирішимо задачу Коші:
Приватне рішення ДУ:
Графік точного рішення вручну:
Операторний метод
Знайдемо зображення для кожного члена ДУ:
диференціальне рівняння похибка
Знайдемо Х:
Графік точного рішення, отриманого операторних методом:
Порівняння рішень, отриманих класичним і операторних методом
Рішення за допомогою рядів
Розкладемо в ряд Маклорена:
Порівняємо рішення, отримані операторних методом і за допомогою рядів
Обчислимо похибки
Метод Ейлера
Для порівняння рішень побудуємо графік
Обчислимо похибки:
Метод Рунге-кутти
