Зміст
Введення
Аксіоматика Вейля
Аксіоми лінійного векторного просторів
Аксіоми розмірності
Аксіоми скалярного твори векторів
Аксіоми відкладання векторів
Вимоги, що пред'являються до системи аксіом
Список літератури
Введення
Герман Вейль (1885-1955) увійшов в науку на самому початку нашого століття. Він відноситься до числа небагатьох великих учених, які зуміли залишити відбиток своєї індивідуальності майже у всіх розділах математики. Гідний наступник свого вчителя Давида Гільберта і яскравий продовжувач традицій німецької математичної школи. Як учений він сформувався під сильним впливом Д. Гільберта особливий інтерес до математичних структурам фундаментальної фізики, проблемам аксіоматики фізичних теорій, до побудови єдиної теорії поля. У 1918 в соч. «Простір, час, матерія» Вейль розробив свій варіант «єдиної теорії поля» - фактично першим справді геометризованний концепцію, засновану на розширенні ріманово геометрії й тлумаченні електромагнітного поля як геометричного феномена.
Аксіоматика Вейля
В аксіоматиці Вейля два невизначуваних поняття: точка - елемент множини Т і вектор - елемент множини V.
Чотири основних відносини: сума векторів, добуток вектора на дійсне число, скалярний добуток векторів, відкладання вектора від точки.
Чотири групи аксіом:. Аксіоми лінійного векторного простору;. Аксіоми розмірності;. Аксіоми скалярного твори векторів;. Аксіоми відкладання векторів.
Аксіоми лінійного векторного простору
Перша група аксіом описує відображення, зване операцією додавання векторів, що дозволяє будь-яким двом векторам і віднести третій вектор - їх суму так, що виконуються аксіоми :: Додавання векторів коммутативно.: Додавання векторів асоціативно.: Існує нульовий вектор такий, що для справедливо рівність.: Для існує протилежний вектор такий, що.
Друга група аксіом описує відображення, зване операцією множення вектора на число, при цьому кожному вектору і числу однозначно віднести вектор, званий твором вектора на число, так що виконуються аксіоми:
Аксіоми лінійного векторного простору
: Операція множення Дистрибутивних по відношенню до складання векторів.: Операція множення Дистрибутивних по відношенню до складання чисел.: Операція множення вектора на число асоціативна.: Операція множення вектора на одиницю не змінює вектора.
Теорема 1.5. Твір будь-якого вектора на число 0 дорівнює нульовому вектору.
Доказ. З одного боку, маємо. З іншого боку, додаючи почленно до обох частин отриманого рівності вектор, протилежний до вектора, ми отримаємо. Таким чином,, тобто
Теорема 1.6. Протилежний вектор для вектора дорівнює, тобто .
Теорема 1.7. Твір дійсного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору, тобто .
Система векторів називається лінійно залежною, якщо рівність виконується для деяких постійних, причому
Аксіоми розмірності
: Існує три лінійно незалежних вектора, тобто якщо.: Будь-які чотири вектори лінійно залежні, тобто якщо.
Всяка система трьох лінійно незалежних векторів називається базисом даного тривимірного вектор...
