ного простору.
Теорема: Всякий вектор векторного простору можна розкласти, і притому єдиним чином, по векторах базису.
Числа x називаються координатами вектора в базисі.
Аксіоми скалярного твори векторів
Четверта група аксіом описує відображення, зване операцією скалярного множення векторів, при цьому будь-яким двом векторам і однозначно зіставляється число, зване скалярним твором двох векторів, так що виконуються аксіоми :: Скалярний добуток векторів коммутативно.: Дистрибутивність скалярного твори векторів щодо додавання векторів : Асоціативність скаляра щодо твору векторів
. . і.
Скалярний добуток векторів дозволяє визначити число зване скалярним квадратом вектора.
Аксіоми відкладання векторів
П'ята група аксіом описує операцію відкладання вектора від точки, при цьому будь-яким упорядкованим двох точках А і В однозначно зіставляється вектор:, причому точка А називається початковою точкою вектора, а В - кінцевої. Для операції відкладання вектора від точки виконуються наступні аксіоми :: Для кожної фіксованої точки А і кожного вектора існує єдина точка В така, що.: Для будь-яких трьох точок А, В, С справедливо рівність
Вимоги, що пред'являються до системи аксіом
аксіома вектор твір скалярний
Основна вимога, яка пред'являється до системи аксіом - несуперечливість. Ця вимога означає, що, по-перше, система аксіом не повинна утримувати двох-яких взаємовиключних один одного пропозицій. По-друге, в наслідках з системи аксіом не повинно міститися двох теорем, що суперечать один одному.
Для виконання першої умови необхідно перевірити систему аксіом на наявність взаємовиключних один одного пропозицій. Друга умова перевірити неможливо, так як число теорем, виведених з даної системи аксіом, необмежена. Тому, для того щоб переконатися в несуперечності системи аксіом, треба побудувати модель цієї системи.
Теорема: система аксіом Вейля несуперечлива, якщо несуперечливо арифметика дійсних чисел.
Для доказу побудуємо математичну модель. Введемо основні об'єкти:
вектори;
крапка.
Введемо основні відносини:
додавання двох векторів;
множення вектора на скаляр;
скалярний добуток векторів;
бінарне відношення, приналежність впорядкованої пари точок і вектора.
Переконаємося у справедливості аксіом:. . . . . . . .
-V8-виконані.
. .
-D2-виконані.
. . . .
-E4-виконуються.
. .
-T2-виконуються.
Список використаної літератури
Єгоров І.П. Лекції з аксіоматиці Вейля і неевклідової геометрії, посібник для студентів. Рязань, 1973
Підстави геометрії. Геометрія Лобачевського: Навчально-методичний посібник / Н.В. Ейріх, Д.В. Мостова.
