МОУ "ЗОШ № 16"
Доповідь на тему:
"Аксіоми планіметрії "
Виконала:
Учениця 7 класу
Аулова Євгена
Астрахань 2010
З історії аксіом
Аксіоматичний метод з'явився в Древній Греції, а зараз застосовується у всіх теоретичних науках, насамперед у математиці. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії полягає в наступному: виділяються основні поняття, формулюються аксіоми теорії, а всі інші твердження виводяться логічним шляхом, спираючись на них. Основні поняття виділяються таким чином. Відомо, що одне поняття повинне пояснюватися з допомогою інших, які, у свою чергу, теж визначаються за допомогою якихось відомих понять. Таким чином, ми приходимо до елементарних понять, які не можна визначити через інші. Ці поняття і називаються основними. Коли ми доводимо твердження, теорему, то спираємося на передумови, що вважаються вже доведеними. Але ці передумови теж доводилися, їх потрібно було обгрунтувати. Зрештою, ми приходимо до недоказовості тверджень і приймаємо їх без доказу. Ці твердження називаються аксіомами. Набір аксіом має бути таким, щоб, спираючись на нього, можна було довести подальші твердження. Виділивши основні поняття і сформулювавши аксіоми, далі ми виводимо теореми й інші поняття логічним шляхом. У цьому і полягає логічна будова геометрії. Аксіоми й основні поняття складають підстави планіметрії. Так як не можна дати єдине визначення основних понять для всіх геометрій, то основні поняття геометрії варто визначити як об'єкти будь природи, що задовольняють аксіомам цієї геометрії. Таким чином, при аксіоматичному побудові геометричної системи ми виходимо з деякої системи аксіом, або аксіоматики. У цих аксіомах описуються властивості основних понять геометричної системи, і ми можемо представити основні поняття у вигляді об'єктів будь-якої природи, які мають властивості, зазначеними в аксіомах. Після формулювання і доказу перших геометричних тверджень стає можливим доводити одні твердження (теореми) за допомогою інших. Докази багатьох теорем приписуються Піфагору і Демокріту. Гіппократу Хіоському приписується складання першого систематичного курсу геометрії, заснованого на визначеннях і аксіомах. Цей курс і його наступні обробки називалися "Елементи". Потім, у III ст. до н.е., в Олександрії з'явилася книга Евкліда з тією ж назвою, в російській перекладі "Початки". Від латинської назви "Почав" відбувся термін "Елементарна геометрія". Незважаючи на те, що твори попередників Евкліда до нас не дійшли, ми можемо скласти деяку думку про ці твори по "Початках" Евкліда. В "Засадах" є розділи, логічно дуже мало пов'язані з іншими розділами. Поява їх пояснюється тільки тим, що вони внесені за традицією і копіюють "Початки" попередників Евкліда. "Початки" Евкліда складаються з 13 книг. 1 - 6 книги присвячені планіметрії, 7 - 10 книги - про арифметику і несумірні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Книги з 11 по 13 присвячені стереометрії. "Початки" починаються з викладу 23 визначень і 10 аксіом. Перші п'ять аксіом - "загальні поняття ", інші називаються" постулатами ". Перші два постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій - за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, "усі прямі кути рівні між собою", є зайвим, тому що його можна вивести з інших аксіом. Останній, п'ятий постулат говорив: "Якщо пряма падає на дві прямі й утворить внутрішні односторонні кути в сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих ". П'ять "загальних понять" Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, об'ємів: "рівні тому ж рівні між собою "," якщо до рівного додати рівні, суми рівні між собою "," якщо від рівних відняти рівні, залишки рівні між собою "," суміщають один із одним рівні між собою ", "Ціле більше частини". Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда по трьох причинах: за те, що він розглядав тільки такі геометричні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки; за те, що він розривав геометрію й арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і, нарешті, за аксіоми Евкліда. Найбільш сильно критикували п'ятий постулат, самий складний постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим, і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його слід замінити більш простим і наочним, рівносильним йому: "Через точку поза прямою можна провести в їх площини не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму ".
Критика розриву між геометрією і арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Суперечки про п'ятому постулаті призвели до того, що на початку XIX століття Н.І. Лобачевський, Я. Бойя і К.Ф. Гаусс ...
