ВСТУП
Традиційно курс квантової механіки починається з розгляду трьох простих завдань: 1) частка в потенційній ямі, 2) лінійний гармонійний осцилятор і 3) проходження частинок через потенційний бар'єр. З світоглядної точки зору ці завдання дають майбутньому вчителю цілком достатня загальне уявлення про те, чим займається квантова механіка - описом руху мікрочастинок в атомах і ядрах, властивостей молекул і твердих тіл (електронна теорія речовини) і, нарешті, розсіювання мікрочастинок на різних потенціалах. Рішення ж відповідних завдань багато в чому відрізняється.
Виявляється, цей процес можна уніфікувати, використовуючи метод факторизації, запропонований Шредингером. Цей метод докладно викладено в книзі Д. Бома на прикладі рішення рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора.
Розглянемо тепер гармонійний осцилятор, який важливий особливо тому, що поле випромінювання діє подібно сукупності таких осциляторів. Наприклад, потенційна енергія двох атомів як функція відстані між ними зазвичай представляється кривої, зображеної на малюнку 1.
Рисунок 1 - Потенційна енергія двох атомів
Звичайно існує деяку відстань х=а, для якого потенціал мінімальний. Ця точка відповідає стійкій рівновазі. Поблизу цієї точки потенціал може бути розкладений в ряд за ступенями малих величин (x - a), а так як в цій точці, то будемо мати
(1)
Цей вислів і є потенціалом гармонічного осцилятора. У загальному випадку будь-яку систему, що знаходиться в стійкому рівновазі, можна поблизу положення рівноваги представити у вигляді гармонійного осцилятора.
Хвильовий рівняння. Для осцилятора з квазіпружної постійної k потенціал дорівнює, де кутова частота коливань. Тоді хвильове рівняння має вигляд
(2)
Малюнок 2 - Потенційна яма
Зручно скористатися підстановкою
,.
Тоді рівняння (2) прийме вид
(3)
Як показано на малюнку 2, потенційна яма має параболічну форму. Для досить великих значень | х | потенційна енергія завжди більше, ніж повна енергія, тому рішення хвильового рівняння є лінійною комбінацією речових експоненційних функцій. Щоб знайти вид цих експоненційних функцій, можна скористатися наближенням. [1] Рішення для великих | х | міститиме
Але для великих, тому
Отже, рішення по порядку величини рівні
(4)
Рисунок 3 - Графік хвильової функції
Потрібно вибрати таке рішення, яке експоненціально убуває при великих | х |. Таким чином, якщо при великих негативних значеннях х рішення змінюється як то і при великих позитивних значеннях х повинен бути той же тип рішення. Тому необхідно, щоб рішення в області з позитивною кінетичної енергією (тобто при | х |> а) мало вигляд спадної експоненційної кривої. Це завдання аналогічна визначенню пов'язаних станів в прямокутній потенційній ямі. Хвильова функція наїнізшего стану не має вузлів. Хвильова функція наступного стану...
