, яке має один вузол, показана на малюнку 3. Слід зауважити, що при більш високих енергіях не тільки відбувається більш швидке затухання хвильової функції, але також і зростає область з позитивним значенням кінетичної енергії. Для дуже високих квантових станів хвильова функція має дуже багато коливань, і наближення буде достатньо точним. У даному випадку немає ніяких обмежень числа можливих пов'язаних станів, так як при потенціал стає нескінченно великим. Тому завжди можливо збільшувати енергію і таким шляхом змусити хвильову функцію скоїти ще одне коливання перш, ніж вона досягне області з негативною кінетичної енергією. Однак якщо обмежити нескінченне зростання потенціалу при великих значеннях х, як це має місце, наприклад, у випадку міжатомних сил (див. малюнок 1), то число пов'язаних станів буде кінцевим. [2,3]
Методи точного рішення. Загальний метод знаходження власних значень і власних функцій для рівняння типу (3) насамперед полягає в поданні рішення поблизу рівноважного стану за допомогою статечних рядів, в яких залишено достатнє число членів, щоб рішення могло бути продовжене в область з експоненціально спадаючої функцією. Якщо ряди не сходяться у всій області, то може виявитися необхідним скористатися чисельним інтегруванням або ж послідовними розкладаннями в декількох різних точках. У будь-якому випадку слід вибрати статечні ряди так, щоб вони безперервно змикалися з експоненціально спадною функцією. У загальному випадку, як було показано для прямокутної потенційної ями, таке змикання здійснюється для певної сукупності дискретних значень. Ці значення є власними значеннями завдання, а відповідні їм рішення - власними функціями.
шредінгеровской метод факторизації. Хоча описаної вище процедурою зазвичай і користуються при вирішенні завдання гармонійного осцилятора, так само як і для багатьох інших подібних завдань, але ми використовуємо тут простий метод, розвинений Шредингером, який, однак, обмежений у своїх застосуваннях. Незважаючи на це, як ми побачимо, його можна застосувати до вирішення низки завдань, які будуть розглянуті нижче, і, зокрема, до задачі квантування моменту кількості руху.
Метод полягає в розкладанні оператора Гамільтона на твір двох операторів, кожен з яких містить тільки перші похідні. У нашій задачі це можна зробити, так як
(5)
Тоді рівняння (3) може бути записано в наступному вигляді
(6)
де - власна функція, що належить власному значенню. Потім необхідно подіяти на це рівняння зліва оператором
При цьому зауважимо, що
.
Тому отримуємо
(7)
Вважаючи, що
є новою хвильової функцією, отримаємо
(8)
Отже, якщо - власна функція рівняння Шредінгера, відповідна власному значенню, то
власна функція того ж рівняння, відповідна власному значенню - 2.
Таким чином, задаючи яке-небудь одне рішення, можна завжди отримати інше. Крім того, якщо - власне значення, то - 2 також має бути допустимим власним значенням. [4]
Цю процедуру можна продо...
