B.А. Будніков
Б 903 Рішення алгебраїчного рівняння n-ої ступеня - Новосибірськ: Інтернет, Блоги: budnikov57@mail.ru, 2010. - 26 с. p> У роботі запропоновано аналітичне рішення ( в радикалах ) алгебраїчного рівняння n - го ступеня. Вирішені Проблеми власних значень для знаходження Функцій від Матриць і стійкості рішень лінійних диференціальних та різницевих рівнянь. Метод рішення заснований на послідовному отриманні алгебраїчного рівняння щодо квадратів незалежної змінної і його Рішенні з наступним поверненням до коріння вихідного рівняння. Метод характеризується простотою і вимагає тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати коріння n - го ступеня з комплексного числа. Алгоритм рішення легко піддається програмуванню. Наведено конкретні приклади вирішення алгебраїчних рівнянь з третьої по восьму ступінь включно.
Стаття може бути корисна Фахівцям, які займаються вирішенням завдань Вищої Алгебри, а також Студентам вищих навчальних закладів, які цікавляться складними математичними Проблемами.
Введення
Проблема розв'язання в радикалах алгебраїчного рівняння довільного ступеня, так званого Старого рівняння, цікавила математиків всіх часів і народів. Удача Тартальи і Феррарі в вирішенні рівнянь третього і четвертого ступенів внесла надію на успіхи в цьому напрямку і далі. Однак Рішення довгий час знайти не вдавалося/1 /. Можу з упевненістю сказати, що всі Великі математики, в Протягом останніх п'ятисот років, займалися вирішенням рівнянь вищих ступенів. Рівняння п'ятого ступеня вирішували Ньютон, Лейбніц, Лагранж, Ейлер, Гаус, Тейлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гільберт і багато інших (Список можна було б ще довго продовжувати). У довідниках з вищої математики сказано, що НЕ ІСНУЄ рішення в радикалах алгебраїчних рівнянь вище четвертого ступеня/2 /. Здавалося б, не існує і вирішувати не треба! Проте в Техніці дуже важливо вибирати параметри Систем у відповідність з принципами Оптимальності, щоб Об'єкти, описувані системами диференціальних або різницевих рівнянь, задовольняли заданому критерію якості (наприклад, мінімуму споживаної Енергії або максимальному швидкодії).
Для пояснення подальших міркувань введемо систему умовних позначень.
ПОЗНАЧЕННЯ:
* - знак множення,
** - знак зведення в ступінь,
ABS (x) - абсолютна величина комплексної змінної x,
Re x, Im x - дійсна і уявна величини комплексної змінної x відповідно,
Mod x, Fi x - модуль і кут комплексної змінної x відповідно,
SIN (x), COS (x) - тригонометричні функції sinx і cosx,
ARCTAN (Im x, Re x) - зворотна тригонометрическая функція arctg ((Im x)/(Re x)).
SQRT (x) - операція добування квадратного кореня з дійсного числа x.
PI = 3.141592653589793 - Число ПЂ. p> У 1683 році друг Г.В. Лейбніца Е.В. фон Чірнгауз (1651 - 1708) опублікував у журналі "Acta Eruditorum" метод перетворення алгебраїчного рівняння в рівняння тій же мірі з меншим числом членів.
Чірнгауз з рівняння
(x ** n) + A1 * (x ** (N - 1)) + A2 * (x ** (n - 2)) + ... + An = 0,
і рівняння з невизначеними коефіцієнтами
y = B1 * (x ** (n - 2)) + B2 * (x ** (N - 3)) + ... + Bn-1,
виключав x. Він вважав, що в отриманому рівнянні
(y ** n) + C1 * (y ** (N - 1)) + C2 * (y ** (n - 2)) + ... + Cn = 0,
можна буде підібрати коефіцієнти Bi, від яких залежать Ci, так, що всі коефіцієнти Ci, крім одного, звернуться до нуль. Тоді останнє рівняння прийме вигляд
(y ** n) + Cn = 0,
і вихідне рівняння відносно змінної x буде вирішуваний в радикалах.
Зазначимо, що в загальному випадку коефіцієнт Cn може бути комплексною величиною, для якої, у відповідність з теорією функцій комплексного змінного, існують поняття модуля і кута вектора на комплексній площині. Для спрощення міркувань будемо вважати коефіцієнт Cn дійсною величиною ((-Cn)> 0)
Нехай q = (-Cn) ** (1/n), тоді рівняння щодо змінної yi легко може бути вирішено
yi = q * (COS (2 * (I - 1) * PI/n) + j * SIN (2 * (i - 1) * PI/n),
де q - арифметичний корінь n - го ступеня з числа (-Cn),
i - порядковий номер кореня рівняння, i = 1, n;
j - квадратний корінь з (- 1), уявна величина.
Вираз COS (2 * (i - 1) * PI/n) + j * SIN (2 * (2 * (i - 1) * PI/n) задає корені рівняння
((x ** n) - 1)/(x - 1) = 1 + x + (x ** 2) + ... + (x ** (n - 1)) = 0. br/>
Остання являє собою вираз для суми n членів геометричній прогресії з основою x.
Чірнгауз вдалося вирішити таким чином рівняння при n = 3, але в загальному випадку прийом до цілі не наводив. Лейбніц, якому Чірнгауз повідомив листом в 1677 році ідею методу, зауважив, що нічого не виходить навіть для рівняння п'ятого ступеня.
Ісаак Ньют...
