Державна освітня установа
додаткової професійної освіти
(підвищення кваліфікації)
фахівців Московської області
ПЕДАГОГІЧНА АКАДЕМІЯ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ОСВІТИ
Кафедра математичних дисциплін
Особливості методики навчання математики в умовах нової форми підсумкової атестації за курс середньої (повної) загальної освіти
ПРОЕКТ
«Розробка методичних рекомендацій вирішення деяких стереометричних задач векторним методом»
Вчитель математики
МОУ СЗШ № 15 м Пушкіно Московської області
Голубєва Ірина Альбертівна
Керівник групи
Бірюкова А.І.
2011
ВСТУП
У демонстраційних матеріалах ЄДІ 2010 - 2011 років міститься значна частка завдань групи С2, в яких необхідно знайти кут (або тригонометричну функцію кута) між перехресними прямими. Прямі зазвичай задаються двома точками, що лежать на ребрах того чи іншого багатогранника.
При вирішенні таких завдань, по-перше, необхідно побудувати цей кут, по-друге, знайти його величину. Щоб вказати шуканий кут, необхідні додаткові побудови, часто зовсім не очевидно. Щоб обчислити величину кута або його тригонометричну функцію, потрібно розглянути який-небудь трикутник, одним з кутів якого є шуканий кут. Таким чином, стає зрозуміло, що вирішення таких завдань виявляється складним і недоступним для більшості випускників. Для кожного конкретного випадку потрібні свої побудови і прийоми рішення.
Пропонований нижче метод дозволяє скласти чіткий алгоритм, слідуючи якому, можна вирішити велику кількість завдань на знаходження кута між прямими, заданими точками на ребрах багатогранника.
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
алгоритм завдання векторний кут
Виявляється, що рішення задачі значно спрощується, якщо замінити кут між прямими на кут між векторами. Причому, вектори задаються тими ж точками, що і прямі.
Розглянемо питання, наскільки правомірна така заміна понять.
У діючих шкільних підручниках [1, с.52-53; 5, с. 41-43] поняття кута між прямими в просторі формулюється таким чином.
Визначення 1. Кутом між двома пересічними прямими в просторі називається найменший з кутів, утворених променями цих прямих з вершиною в точці їх перетину.
Визначення 2. Кутом між двома перехресними прямими називається кут між пересічними прямими, відповідно паралельними даними.
Визначення 3. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90?.
Величина кута між паралельними прямими вважається рівною нулю.
З вище сказаного випливає, що величина кута між прямими в просторі належить проміжку.
Розглянемо тепер, як визначається поняття кута між векторами [5, с. 122].
Визначення 4. Кутом між двома нульовими векторами і називається кут між рівними їм векторами=і =, відкладеними від однієї точки.
Якщо вектори сонаправлени, то кут між ними вважається рівним нулю; якщо вектори протилежно спрямовані, то кут між ними вважається рівним 180 ?; якщо кут між векторами дорівнює 90 ?, то вектори називають перпендикулярними.
Зіставивши наведені вище визначення, бачимо, що кут між прямими в просторі і кут між векторами визначається практично однаково. Різниця лише в тому, що кут між прямими може приймати значення від 0? до 90 ?, а кут між векторами - від 0? до 180 ?. Значить, якщо при вирішенні задачі ми отримуємо величину кута між векторами більше 90 ?, то кут між прямими можна вважати суміжним з отриманим кутом. Значить, заміна понять в даному випадку цілком правомірна.
Отже, для знаходження кута між двома перехресними прямими (або між двома векторами в просторі) можна користуватися відомою формулою скалярного твори=cos, де - кут між даними векторами.
Приклади розв'язання задач
Завдання 1
У кубі A ... D1 точки E, F середина ребер A1B1 і B1C1 відповідно. Знайдіть косинус кута між прямими AE і BF.
Рішення.
Введемо прямокутну систему координат, де точка D - початок координат; вісь Ox збігається з прямою DA; Oy - з прямою DC; Oz - з прямою DD1. Одиничний відрізок дорівнює ребру куба. У заданій системі координат визначимо координати точок: A, BE, F.
A (1; 0; 0), B (1; 1; 0), E (1; 0,5; 1), F (0,5; 1; 1).
Знайдемо координати векторів і.
==; ==.
=0? (- 0,5) +0,5? 0 + 1? 1=1
...
