;
cos=
Відповідь: 0,8.
Зауваження
При обчисленні кута між векторами немає необхідності знаходити потрібний кут на кресленні. Отже, не потрібно виконувати ніякі додаткові побудови. Це істотно полегшує завдання.
Розглянемо задачу, при вирішенні якої введення системи координат незручно.
Завдання 2
Непересічні діагоналі двох суміжних бічних граней прямокутного паралелепіпеда утворюють з площиною його заснування кути? і?. Знайдіть кут між цими діагоналями.
Рішення
Нехай
0 +
+ 0 + 0 +
;
, де -кут між векторами і.
Тоді cos=sin? sin?.
Відповідь: arccos (sin? sin?).
Розглянемо завдання, в яких прямі задані точками, що лежать на гранях правильно трикутної і правильної шестикутної призми. У цих випадках можливе вирішення як з використанням системи координат, так і без неї.
Завдання 3
У правильній трикутній призмі, всі ребра якої рівні 1, знайдіть косинус кута між прямими AB1 і BC1.
Рішення
спосіб
Введемо прямокутну систему координат (див. малюнок). Одиничний відрізок дорівнює ребру призми. Визначимо в цій системі координати точок A, B, B1 і C1.
,
.
, так як відрізки AB1і BC1 - діагоналі квадрата.
де?- Кут між розглянутими векторами, або кут між даними прямими.
Відповідь:.
спосіб
Значення скалярного твори можна обчислити, не використовуючи систему координат.
Уявімо кожен з векторів і як суму векторів, заданих ребрами багатогранника:
; ;
.
Далі шуканий кут знаходимо також, як і при вирішенні 1 способом.
Очевидно, що кожний з розглянутих способів має свої переваги і недоліки. У першому випадку виникають складнощі при знаходженні координат точок, у другому - при визначенні кутів між векторами.
Завдання 4
У правильній шестикутної призмі A ... F1, всі ребра якої рівні 1, знайдіть косинус кута між прямими BA1 і CB1.
Рішення
спосіб
Введемо систему координат з початком у точці A (див. малюнок), одиничний відрізок дорівнює ребру призми.
У заданій системі визначимо координати точок:
(див. малюнок)
Обчислимо косинус кута між векторами:
Відповідь:.
спосіб
Уявімо розглядаються вектори як суму векторів, заданих ребрами призми:
=
Далі закінчуємо рішення задачі, як у першому випадку.
Розглянемо випадок, коли введення системи координат не виправдано.
Завдання 5
У правильній чотирикутної піраміді SABCD всі ребра якої рівні 1, точка Е - середина ребра SC, точка F - середина ребра SD. Знайдіть косинус кута між прямими AF і BE.
Рішення
Розглянемо суми векторів:
.
Обчислимо їх скалярний добуток:
=
, так як AF- медіана рівностороннього трикутника ABS.
.
Відповідь:.
Слід зауважити, що знаходження кута між векторами заслуговує особливої ??уваги і обговорення, особливо, якщо вектори відкладені від різних точок. Розглянемо малюнки. У даному випадку зручно замінити вектор
на вектор, а вектори і - на і відповідно.
Отримані кути відзначені на малюнку.
Зауваження. Згідно тематичним планування [2, с. 122], на вивчення теми «Скалярний добуток векторів в просторі» відводиться два уроки. Очевидно, що такий обсяг завдань за цей час виконати неможливо. У цьому випадку більш докладно дану тему можна відпрацювати на факультативних заняттях і при підсумковому повторенні.
Розглянувши кілька завдань, вирішених методами аналітичної геометрії, можна скласти план, або алгоритм для вирішення завдань на знаходження кута між прямими в просторі. Досвід показує, що, маючи чіткий алгоритм, із завданнями справляються навіть не дуже сильні учні.
Алгоритм 1
1. Введіть прямокутну систему координат у просторі, прив'язавши її до даного багатограннику.
. Визначте координати точок, які задають прямі.
3.Вичісліте координати векторів і, які задаються тими ж точками, що і прямі.
.Вичісліте скалярний добуток векторів і через їх координати.
.Вичісліте модулі векторів і.
.Вичісліте косинус кута між даними векторами за формулою:
Зазначений кут і буде кутом між заданими прямими.
Алгоритм 2
1. Позначте вектори, що задаються тими ж точками, що і прямі.
. Уявіть кожен із заданих векторів як суму двох ...
