,
що дозволяє записати її в наступному вигляді:.
Нехай S - регулярна поверхню і - її радіус-вектор.
Виберемо на поверхні S деяку точку і розглянемо площину, яка торкається поверхні S в цій точці.
Відхилення довільної точки поверхні S від площини визначимо формулою
, (2)
де - одиничний вектор нормалі до поверхні в точці.
Це відхилення, взяте за абсолютною величиною, дорівнює відстані від точки до площини. Відхилення додатне, якщо точка і кінець вектора лежать по одну сторону від площини і негативно, якщо ці точки лежать по різні сторони від площини (рисунок 1).
Звернемося до формули (2). Різниця допускає наступне подання:
де при.
Помножимо обидві частини рівності (3) скалярно на вектор. Тоді, поклавши
,
отримаємо, що
. (4)
Відзначимо, що коефіцієнти і у формулі (4) обчислені в точці.
Таким чином, ми отримали для відхилення наступне подання:
, (5)
де через позначена другим квадратична форма поверхні, обчислена в точці, і при.
Використовуємо отриману формулу (5) для вивчення будови поверхні S поблизу точки.
Обчислимо дискримінант другий квадратичної форми
в точці. Можливі наступні випадки.
) - друга квадратична форма поверхні в точці є знакоопределенной.
Зафіксуємо в точці деякий напрям на поверхні; для визначеності.
Тоді будь-яке інше напрямок на поверхні в точці можна задавати за допомогою кута, який воно утворює з обраним напрямком (рис.2).
Покладемо. Тоді
(6)
Неважко показати, що
де постійна
і в силу умови позитивна.
Таким чином, нерівність
виконується незалежно від вибору кута.
Так як порядок прагнення до нуля при другому доданка у правій частині формули (5) вище двох, то з останньої оцінки можна зробити наступний висновок.
Відхилення зберігає знак, що співпадає зі знаком другого квадратичної форми, для всіх досить малих значень незалежно від вибору напрямку на поверхні.
Це означає, що всі точки поверхні S, досить близькі до точки розташовуються по одну сторону від дотичної площини поверхні S в цій точці. Така точка поверхні називається еліптичної (рис.3)
) - друга квадратична форма поверхні в точці є знакозмінної.
Покажемо, що в цьому випадку в точці можна вказати дві колінеарних напрямки на поверхні, що володіють наступними властивостями:
а) для значень диференціалів, що визначають ці напрямки, друга квадратична форма поверхні, обчислена в точці, звертається в нуль;
б) всі інші напрямки на поверхні в точці розбиваються на два класи - для диференціалів, що визначають напрями одного з класів, друга квадратична форма позитивна і для іншого негативна.
Нехай деякий напрям позитивного класу задається кутом. Відповідно до формули (6) маємо
,
де.
Як видно з формули (5), знак відхилення для всіх досить малих значень в розглянутому напрямку збігається зі знаком другого квадратичної форми. Отже, якщо точка поверхні S досить близька до точки, то це відхилення позитивно.
Міркуючи аналогічно, можна вказати точки на поверхні, близькі до точки, для яких відхилення негативно (рис.4).
Наведені міркування показують, що поблизу точки, поверхня S розташовується по різні сторони від дотичної площини. При цьому проекції точок поверхні, відхилення, яких позитивні, на дотичній площині заповнюють безліч, зазначене на наведеному малюнку (рис.5).
У розглянутому випадку точка називається гіперболічної точкою поверхні S.
), але відмінний від нуля хоча б один з коефіцієнтів.
Нехай для визначеності. Тоді друга квадратична форма поверхні S в точці може бути записана в наступному вигляді:
.
