Зміст
Введення
. Поверхні другого порядку
2. Всі канонічні рівняння квадрік
3. Приведення квадрік до канонічного виду
4. Основні види поверхонь другого порядку та їх властивості
Додаток
Список літератури
Введення
У цій роботі міститься матеріал по поверхнях другого порядку. Що таке квадріка (або поверхню другого порядку), дано всі можливі сімнадцять видів квадрік, їх канонічні формули, зображення та основні властивості. p align="justify"> Приділено увагу можливим видам будь-якого многочлена другого ступеня в просторі, можливих видів квадрік (доводиться що їх всього сімнадцять).
Порушені властивості еліпсоїда, однополостного і двуполостного гіперболоїдів, конуса другого порядку, гіперболічного параболоїда. Розглядаються прямолінійні утворюючі у окремих видів поверхонь другого порядку. Наведено рішення типових завдань. br/>
1. Поверхні другого порядку
Поверхні другого порядку задаються в деякій аффинной системі координат рівнянням:
В
При цьому потрібно, щоб квадратична частина була відмінна від нуля. Якщо ввести позначення:
В
то рівняння прийме вигляд:
В
Визначення. Алгебраїчної поверхнею другого порядку (квадрік) називається поверхню S, рівняння якої в декартовій прямокутній системі координат має вигляд:
,
де принаймні одна з шести величин A, B, C, D, E, F не дорівнює нулю. Якщо це рівняння не задовольняється жодної дійсної точкою x = (x1, x2, x3), то говорять, що воно визначає уявну поверхню. p> Теорема Нехай в деякій прямокутній системі координат задана квадратична частина q (x, y, z). Тоді знайдеться інша прямокутна система з тим же початком, в якій квадратична частина візьме діагональний вигляд:
(x?, y?, z?) +? 1 (x?) 2 +? 2 (y?) 2 +? 3 (z?) 2
де? 1,? 2,? 3 - власні значення Q, тобто корені характеристичного многочлена:
(?) = det (Q-? E) = 0,
а нові базисні вектора e'1 e'2 e'3 є відповідними власними векторами. Зокрема, всі власні значення речовинні, а власні вектора, що відповідають різним власним значенням, ортогональні. p> Лемма. Для будь-якого многочлена другого ступеня в просторі існує прямокутна система координат, у якій він бере один з наступних п'яти видів:
(I) F =? 1x2 +? 2y2 +? 3z2 +? (? 1? 2? 3? 0);
(II) F =? 1x2 +? 2y2 + 2b3z (? 1? 2 b3? 0);
(III) F =? 1 x2 +? 2 y2 +? (? 1? 2? 0);
(IV) F =? 1 x2 + 2c2y (? 1 c2? 0);
(V) F =? 1 x2 +? (? 1? 0);
Доказ. У силу попередньої теореми можемо знайти таку прямокутну систему, в якій квадратична частина діагональна, тобто:
=? 1x2 +? 2y2 +? 3z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + b0 = 0
