Зміст
Введення
1. Завдання інтерполяції алгебраїчними многочленами
2. Інтерполяційна формула Лагранжа
3. Інтерполяційна формула Ньютона
4. Застосування інтерполяційних формул до даного наприклад
Висновок
Використана література
Додаток
алгебраїчний інтерполяційний Лагранж програма
Введення
інтерполювання є одним із способів наближення функцій і застосовується в тих випадках, коли функція задається таблицею своїх значень в деяких точках.
Завданням інтерполювання полягає в тому, щоб за значеннями функції f (x) в декількох точках відрізка відновити її значення в інших точках даного відрізка. Зрозуміло, така постановка завдання допускає як завгодно багато рішень.
Завдання інтерполяції виникає, наприклад, в тому випадку, коли відомі результати вимірювань yk=f (xk) деякої фізичної величини f (x) в точках xk, k=0, 1, ..., n і потрібно визначити її значення в інших точках. Інтерполяція використовується також при необхідності згущення таблиць, коли обчислення значень f (x) з точних формулами трудомістко.
1. Завдання інтерполяції алгебраїчними многочленами
Нехай функціональна залежність задана таблицею y 0=f (x 0); ..., y 1=f (x 1); ..., yn=f (xn). Зазвичай завдання інтерполювання формулюється так: знайти многочлен P (x)=P n (x) ступеня не вище n, значення якого в точках xi (i=0, 1 2 ..., n) збігаються зі значеннями даної функції, тобто P ( xi)=yi.
Геометрично це означає, що потрібно знайти алгебраїчну криву виду
проходить через задану систему точок М i (xi, yi) (рис. 1). Многочлен Р (х) називається інтерполяційним многочленом. Точки xi (i=0, 1, 2, ..., n) називаються вузлами інтерполяції
Рис. 1. Інтерполяція алгебраїчним многочленом
Для будь-якої неперервної функції f (x) сформульована задача має єдине рішення. Дійсно, для відшукання коефіцієнтів а 0, а 1, а 2, ..., а n отримуємо систему лінійних рівнянь
(1)
визначник якої (визначник Вандермонда) відмінний від нуля, якщо серед точок xi (i=0, 1, 2, ..., n) немає співпадаючих.
Рішення системи (1) можна записати різним чином. Однак найбільш споживана запис інтерполяційного многочлена у формі Лагранжа і у формі Ньютона.
2. Інтерполяційна формула Лагранжа
Нехай і задані точки, (вузли інтерполяції), в яких відомі значення функції. Завдання інтерполяції полягає в тому, щоб побудувати многочлен:
ступеня n, значення якого в заданих точках, збігаються зі значеннями функції в цих точках. Такий поліном існує і єдиний.
Інтерполяційний багаточлен ступеня не вище n по системі алгебраїчних многочленів 1, х, х? , ..., X? можна задати за формулою Лагранжа:
, де,
.
Позначаючи
отримаємо барицентрична вид многочлена Лагранжа:
3. Інтерполяційна формула Ньютона
Інтерполяційна формула Ньютона є різницевим аналогом формули Тейлора і має вигляд:
де, i, j=0,1, ..., n,
i? j - розділені різниці першого порядку,
, i, j, k=0,1, ..., n,
I? j? k - розділені різниці другого порядку,
розділені різниці k-го порядку.
При виведенні формули Ньютона накладається обмежень на порядок вузлів x 0, x 1, ..., xn, тому безліч інтерполяційних формул можна отримати з Перенумерація вузлів.
Також є перша інтерполяційна формула Ньютона (для інтерполювання на початку таблиці, тобто точка x близька до x 0), за якою буде вважатися дана формула:
n (x)=f 0 + t? f 0 +? 2 f 0 + ... +? n f 0, де t=
n f n? f n? 2 f n? 3 f n? 4 f n 0 f 0? f 0? 2 f 0? 3 f 0? 4 f 0 1 f 1? f 1? 2 f 1? 3 f 1 ... 2 f 2? f 2? 2 f 2 ... ... 3 f 3? f 3 ... ... ... 4 f 4 ... ... ... ...
. Застосування інтерполяційних формул до даного наприклад
Дана таблиця значень функції y=Sh (x):
x Sh (x) 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,17520 1,33565 1,50946 1,69838 1,90430
Потрібно знайти наближене значення Sh (x) по інтерполяційної формулою Лагранжа і Ньютона для значен...
