Введення
Сучасна людина в повсякденному житті постійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо номера автобусів і телефонів, в магазині підраховуємо вартість покупок, ведемо свій сімейний бюджет в рублях і копійках (сотихчастках рубля) і т.д. Числа, цифри. Вони з нами скрізь.
Поняття числа - фундаментальне поняття як математики, так і інформатики. Сьогодні, в самому кінці XX століття, для запису чисел людство використовує в основному десяткову систему числення. А що таке система числення?
Система числення - це спосіб запису (зображення) чисел.
Різні системи числення, які існували раніше і які використовуються в даний час, діляться на дві групи: позиційні і непозиційні. Найбільш досконалими є позиційні системи числення, тобто системи запису чисел, в яких вклад кожної цифри в величину числа залежить від її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображає число. Наприклад, наша звична десяткова система є позиційної: у числі 34 цифра 3 означає кількість десятків і вносить в величину числа 30, а в числі 304 та ж цифра 3 позначає кількість сотень і вносить в величину числа 300.
Системи числення, в яких кожній цифрі відповідає величина, яка не залежить від її місця в запису числа, називається непозиційною.
Позиційні системи числення - результат тривалого історичного розвитку непозиційних систем числення.
1. Історія систем числення
Одинична система числення
система числення алгоритм
Потреба в запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів, наприклад овець, зображувалося нанесенням рисок або зарубок на який - небудь твердої поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожній вівці в такого запису відповідала одне рисочка. Археологами знайдені такі записи при розкопках культурних шарів, що відносяться до періоду палеоліту (10 - 11000 років до н.е.).
Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничної ( паличної ) системою числення. У ній для запису чисел застосовувався тільки один вид знаків - паличка raquo ;. Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеної з паличок, кількість яких і дорівнювало обозначаемому числу.
Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше число треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й при записі великого числа легко помилитися, завдавши зайву кількість паличок або, навпаки, не дописавши їх.
Можна запропонувати, що для полегшення рахунку люди стали групувати предмети по 3, 5, 10 штук. І при записі використовували знаки, відповідні групі з декількох предметів. Природно, що при підрахунку використовувалися пальці рук, тому першими з'явилися знаки для позначення група предметів з 5 і 10 штук (одиниць). Таким чином, виникли вже більш зручні системи запису чисел. [1]
Давньоєгипетська десяткова непозиційній системі числення
У давньоєгипетській системі числення, яка виникла у другій половині третього тисячоліття до н.е., використовувалися спеціальні цифри для позначення чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в єгипетської системі числення записувалися як комбінації цих цифр, в яких кожна з них повторювалася не більше дев'яти разів. [3]
Приклад. Число 345 древні єгиптяни записували так:
Малюнок 1 Запис числа давньоєгипетської системою числення
Позначення чисел в непозиционной давньоєгипетської системі числення:
Малюнок 2 Одиниця
Малюнок 3 Десятки
Малюнок 4 Сотні
Малюнок 5 Тисячі
Малюнок 6 Десятки тисяч
Малюнок 7 Сотні тисяч
В основі як паличної, так і давньоєгипетської системи числення лежав простий принцип складання, згідно з яким значення числа дорівнює сумі значень цифр, що беруть участь в його записі. Вчені відносять давньоєгипетську систему числення до десяткової непозиційною. [2]
· Вавилонська (шістдесяткова) система числення
Числа в цій системі числення складалися із знаків двох видів: прямий клин (малюнок 8) служив для позначення одиниць, лежачий клин (малюнок 9) - для позначення десятків.
Малюнок 8 Прямий клин
Малюнок 9 Лежачий клин
Таким чином, число 32 записували так:
