Гюйгенса»: шкірний точка Хвильового фронту St сама становится вторинно ДЖЕРЕЛО, и через годину? t ми отрімуємо Сімейство Хвильового фронтів від усіх ціх вторинно джерел, а Істинний хвильовий фронт St +? t в момент t +? t є обвідна цього сімейства (тобто поверхню, что стосується всех вторинно Хвильового фронтів) (див. малий. 9).
Мал. 9
Застосуємо принцип Гюйгенса для Виведення закону Снелліуса. Нехай паралельний пучок світловіх променів падає на плоску межу розділу двох однорідніх СЕРЕДОВИЩА. Як и Ранее, будемо уявляти Собі, что l горизонтальна, а світло падає зверху (малий. 11). Через v1 и v2 (як и Ранее) позначімо швідкості Поширення світла над і під l и через? 1 і? 2 - куті Падіння и заломлених відповідно. Хвильовий фронт A1A Aрухається зі швідкістю v1, и в Деяк момент t хвильовий фронт AA1 досягає Межі l в точці D. После цього D ставати вторинно Джерелом ХВИЛЮ, что пошірюються в Нижній середовіщі зі швідкістю v2. В точку D1 світло прийде в момент t + | B1D1 |/v1=t + (| DD1 | sin? 1)/v1=t1, а в проміжну Крапка D на відрізку DD1 - у момент t=t + (| DD | sin? 1)/v1. До моменту t1 сферична хвиля від вторинно джерела D буде мати радіус r1=v2 (t1-t)=| DD1 | (v2/v1) sin? 1, а хвиля від D - радіус r=v2 (t1-t)== | D1D | (v2/v1) sin? 1. Дотічні D1C и D1C до ціх сфер збігаються, оскількі куті DD1C и D D1C дорівнюють (так як їх Сінусі Рівні відповідно r1/| DD1 | и r/| D D1 | и обидвоє числа Рівні (v2/v1) sin? 1). Альо точка D булу взята на DD1 довільно, и значити, Вторинні Хвилі в момент t1 всі стосують прямий CD1, что утворює з l кут? 2 такий, что sin? 2=(v2/v1) sin? 1. Мі знову Прийшли до закону Снелліуса.
Ідея «Хвильового фронту» может буті проілюстрована НЕ только на прікладі оптичних Завдання. Вісь Інший випадок. Нехай Подорожній начинает свій шлях з точки A, лежачої на прямолінійній шосе, обмежуючім луг. На цьом лузі є точка B, куди Подорожній намагається потрапіті як можливо швідше. ШВИДКІСТЬ по лузі v в два рази менше швідкості по шосе. Если Подорожній відразу піде по лузі, то за одиницю годині ВІН может потрапіті в будь-яку точку кола радіуса v. Если ж ВІН весь цею годину буде йти по шосе, то ВІН пройде відстань 2v. Нехай ВІН часть шляху пройде по шосе, а часть - по луці. Тоді безліч точок, де ВІН зможите віявітіся через одиницю годині, утворює «Хвильовий фронт», что складається з двох відрізків, з'єднаних дугою кола. Звідсі очень легко Відповісти на питання, як оптимально рухатіся Подорожнє.
Тут мені Видається Доречний ще раз торкнути питання про Екстремальні принципах.
У цьом оповіданні були дані дві Висновки законом заломлених світла. Між ними є принципова відмінність. При підході Ферма Ніяк НЕ прояснюється Істинна Сутність что відбувається явіща. Тут постулюється Деяк властівість траєкторій и показується, что це допущених узгоджується з Експеримент. ПІДХІД Гюйгенса відштовхується від Опису фізичної природи явіща. Така подвійність описи типової в пріродознавстві. Закони природи, з одного боці, допускаються Тлумачення, что базуються на Деяк фізичних моделях, з Іншого - віводяться з екстремальних Принципів.
Обговорення причин завело б нас Надто далеко, но у зв'язку з ЦІМ хочу Зазначити, что опісані в Нашій Розповіді дві підходу зігралі найважлівішу роль в истории варіаційного обчислення и всієї Теорії екстремальних завдань. Насправді будь-яка задача варіаційного числення та оптимального управління может буті досліджена двома шляхами. Можна вівчаті ее Екстремальні Траєкторії (подібно Ферма), и це веде до Теорії Ейлера-Лагранжа (якої ми торкнемося в чотирнадцятим оповіданні). А крім того, є й Інший шлях (Гюйгенса): вівчаті пучки екстремальних траєкторій, что виробляти до аналогів Хвильового фронтів, до Теорії, розробленої Гамільтоном и Якобів XIX столітті, и дослідженню задач оптимального управління методами дінамічного программирования, Які в порівняно недавні часи почав розвіваті американский вчений Беллман.
Найбільш відомі Екстремальні задачі в геометрії
Завдання Евкліда
Мал.10
Завдання. У Сейчас трикутник АВС вписати паралелограм ADEF (EF? AB, DEAC) найбільшою площади.
геометричність решение задачі. Доведемо, что шуканій паралелограм характерізується тім, что D, E, F - середина відповідніх сторон. Розглянемо паралелограм AD1E1F1 відмінний від паралелограма ADEF. Нехай G - точка Перетин прямих DE и F1E1, а G1 - точка Перетин прямих D1E1 и FE. Доведемо, что площа паралелограма AD1E1F1 менше площади паралелограма ADEF на величину площади паралелограма GEG1E1. З подобу трікутніків EE1G1 и BDE, а такоже рівностей BD=EF, EG=E1G1 укладаємо, что
З ціх рівностей віпліває, что EG1 * DE=EG * EF, тобто твір суміжніх сторон пара...
