лелограма DD1G1E дорівнює твору суміжніх сторон паралелограма F1GEF. Оскількі площа паралелограма дорівнює добутку его суміжніх сторон и синуса кута между цімі сторонами, укладаємо, що. Таким чином
и площа паралелограма AD1E1F1 віявляється менше площади паралелограма ADEF на величину. Аналітичне решение задачі. Нехай Н - висота трикутника АВС, b - довжина відрізка АС, x - довжина відрізка AF. Тоді площа паралелограма, вписаного в трикутник АВС, віражається через x функцією
а вірішувану Завдання можна сформулюваті Наступний чином:
Для ее вирішенню вікорістовуємо необхідна Умова. Знаходімо Критичні точки
Отже, мінімум Функції досягається в точці, что Якраз відповідає випадка, коли точка F є серединою відрізка АС.
Завдання Архімеда.
Серед усіх пошаровіх сегментів Кулі фіксованого радіуса, мают завданні площу сферічної поверхні, знайте тієї, Який має Найбільший обєм.
АНАЛІТИЧНИЙ розвязок цієї задачі. Нехай R - радіус Кулі, h - висота кульова сегменту, S - площа бокової поверхності.
1. Формулювання задачі:
.Необхідна Умова екстремумів функцій:
.Знаходження критичних точок Функції. Оскількі, функція має лишь одну критичність точку. Так як, то. Шуканій кульовий сегмент являється півкульою и его висота рівна радіусу.
Завдання Фаняьно
На качана XVIII століття італійський інженер и математик Фаньяно деї Тоски (1682-1766) поставивши таку задачу:
Мал.11
вписатися у Сейчас гострокутній трикутник ABC трикутник найменшого периметра так, щоб на Кожній стороні трикутника ABC лежала одна вершина трикутника.
Скорістаємося тім же прийому: с помощью рухів площіні Спробуємо вібудуваті боці вписаного трикутника в Ламанов лінію. Тоді периметр буде НЕ менше відрізка, что з'єднує кінці цієї ламаної. А найменша периметр буде ВІДПОВІДАТИ випадка, коли Сторони ламаної лежати на одній прямій.
Отже, нехай точки A1, B1, C1 лежати на сторонах трикутника ABC (A1 -на боці BC и т. д.). Відобразімо точку A1 симетрично відносно сторон AB и AC, отримавших точки A2і A3 відповідно (малий. 11). Довжина трьох ланкової ламаної A3B1C1A2 дорівнює периметру трикутника A1B1C1. Для того, щоб периметр БУВ найменша (рівнім відрізку A2A3), нужно, щоб вершини B1 и C1 лежали в точках Перетин відрізка A2A3 зі сторонами трикутника AB и AC. Залишилось зрозуміті, як вібрато точку A1 на стороні BC таким чином, щоб довжина відрізка A2A3 булу найменша. Для цього зауважімо, что трикутник A2AA3 - рівнобедреній (A3A=A2A=A1A), а кут при его вершіні A дорівнює 2BAC и тому не залежиться від Вибори точки A1 (малий. 12).
Отже, при Русі точки A1 по стороні BC куті трикутника A2AA3 НЕ змінюються. А его лінійні розміри будут найменша, коли найменша буде сторона A2A, яка дорівнює A1A.Значіть, A1A - висота, опущена на сторону BC.
Мі бачим, что існує єдиний вписаність трикутник найменшого периметра, его вершина A1 - основа висота. Если провести ті ж міркування c вершинами B1 и C1, отрімаємо, что смороду такоже є підставамі висот (оскількі трикутник мінімального периметра - єдиний!)
Мал .. 12
Теорема Фаньяно. Серед усіх трікутніків, вписаність в Сейчас гострокутній трикутник, найменша периметр має ортотрікутнік (тобто трикутник з вершинами в підставах висот).
. Дві суміжні Сторони ортотрікутніка утворюють Рівні куті з від?? овідною стороною вихідного трикутника. Серед всех трікутніків, вписаність в Сейчас трикутник, только ортотрікутнік володіє зазначену властівістю.
. Висота трикутника є бісектрісамі ортотрікутніка.
Промінь світла, пущений вздовж однієї зі сторон ортотрікутніка, відіб'ється послідовно від усіх сторон трикутника ABC и повернеться у віхідну точку. Таким чином, контур ортотрікутніка представляет собою замкнуте траєкторію променя світла. Если зрушіті трьох дзеркала так, щоб смороду утворена гострокутійтрікутнік, то промінь світла, что идет по сторонах ортотрікутнік замкнеться и Ніколи НЕ Вийди назовні. Математики кажуть, что Сторони ортотрікутніка утворюють більярд для даного трикутника.
. Периметр ортотрікутніка дорівнює подвоєному добутку висота трикутника на синус кута, з которого вона виходе.
Отрімуємо, что три таких Утворення в трикутнику Рівні между собою. Доведіть, что насправді смороду Рівні подвоєною площади, поділеній на радіус описаного кола.
. Досліджуйте задачу Фаньяно для тупокутного трикутника.
. Досліджуйте Завдання Фаньяно для чотірікутніка. Для якіх чотірікутніків вписаність...
