/>
Ту ж ідею зіставлення арифметичної і геометричної прогресії можна інтерпретувати так.
Розглянемо геометричну прогресію, у якої а=2; q=1,2.
Будуємо осі координат і графік гіперболи у=
Уздовж осі Ох відкладаємо від початкової точки О послідовно відрізки:
Величина площі таких фігур не залежить від довжини відрізків
...=q=1,2.
Отримуємо:
площа на відрізку [1 ... 1]=O.
»» »[1 ... q]=S;
»» »[1 ... q?]=2S;
»» »[1 ... q?]=3S;
»» »[1 ... q]=4S;
.............................................................
»» »[1 ... q?]=nS?;
І тут має місце відповідність між геометричною прогресією
Зв'язок між геометричною прогресією довжин відрізків і арифметичною прогресією площ можна формулювати cлeдующім чином: піднесенню в ступінь довжини відрізка q відповідає множення площі S на число n. Площа криволінійної трапеції над відрізком (1, х) осі абсцис, обмежена дугою равнобочной гіперболи, являє собою натуральний логарифм числа x.
Ф.Клейна (1849-1925) належить до числа математиків-класиків збагатили науку новими ідеями і в значній мірі визначили її обличчя викладає свою ідею введення логарифмів в школі по простому і природному способу: на його думку основним принципом має бути визнання квадратури вже відомих кривих правильним джерелом для введення нових функцій. Це відповідає, з одного боку, історичному стану речей, а з іншого, методу, застосовуваному у вищих частинах математики. Слідуючи цьому загальному принципу, треба виходити з гіперболи?=І назвати логарифмом х число, измеряющее площа, яка міститься між кривою і віссю абсцис, а з боків обмежена ординатами боків обмежена ординатами і=х
Пересуваючи другу ординату, можна легко на підставі геометричній інтуїції скласти собі якісне уявлення про зміну цій площі при зміні х і, отже, приблизно побудувати криву у=ln х. Щоб можливо більш просто отримати функціональне рівняння логарифма, можна, наприклад, виходити з рівності
яке виходить при перетворенні cпеременних інтегрування; це рівність каже, що площа, яка знаходиться між ординатами 1 і х, дорівнює площі, укладеної між ординатами з і з х, в с раз більш віддаленими від початку. Цей факт легко зробити вельми наочним геометрично, якщо звернути увагу на те, що величина площі повинна залишатися незмінною, якщо пересувати її під гіперболою і в той же час розтягувати в такій же мірі, в якій зменшується висота. Але з цієї теореми випливає безпосередньо теорема додавання!
Цей шлях можна застосувати в шкільній практиці.
§4 Інтегральне визначення логарифма
У сучасних підручниках з вищої математики дається інтегральне визначення логарифма, його суть та ж що й площі під гіперболою, але присутній інтеграл.
Поняття інтеграла дозволяє визначити деякі елементарні функції за допомогою інтеграла. Визначимо функцію ln x рівністю
логарифм обчислення інтеграл функція
1.Так як функція f (t)=неперервна в інтервалі (0, +?), то інтеграл (1) існує в тому ж інтервалі зміни x і, отже, інтервал (0, +?) є областю визначення функції ln x.
.Функція ln x дифференцируема (і тому неперервна) в кожній точці області визначення.
(ln x) '=
.Функція ln x зростає в інтервалі (0, +?). Це випливає з того що в даному інтервалі, тобто (ln x) ' gt; 0
5. Для будь-яких a gt; 0 і b gt; 0 ln (a · b)=ln a + ln b. Для доказу розглянемо функцію g (x)=ln (ax). Її похідна g (x) '=, але тоді ln (ах) і ln x є різними первісних функції і тому
(ах)=ln х + С.
Вважаючи в цій рівності x=1, отримуємо lna=С. Таким чином,
(ах)=ln х + ln a
Очевидно, методом математичної індукції це властивість поширюється на будь-яке кінцеве число доданків. З рівності
ln a =) + lnb
Отримуємо
)=ln a? ln b
. Для будь-якого x? (0 ,?) і будь-якого дійсного a справедливо рівність
ln (x?)=a ln x
. Безліч значень функції ln x є всі множина дійсних чисел. Справді, в силу безперервності функції ln x безліч її значень є проміжок, але цей проміжок не обмежений зверху і знизу, так як, наприклад, ln2n=nln2, а ln2-n=-nln2.
Висновок
У цій роботі ми розглянули історичні аналоги деяких сучасних визначень логарифма і сучасні визначення логарифма. Трьохсотрічна практика всіх обчислювачів цілком довела, що завдяки логарифмам числові обчислення були надзвичайно полегшені.
Таким чином, ...
