ях замість чисел їх логарифмів дозволяє замінити множення більш простий операцією додавання, ділення - відніманням, зведення в ступінь - множенням і вилучення коренів - діленням.
Загальний опис. Логарифмом даного числа називається показник ступеня, в яку потрібно звести інше число, зване підставою логарифма, щоб отримати дане число. Наприклад, логарифм числа 100 по підставі 10 дорівнює 2. Інакше кажучи, 10 потрібно звести в квадрат, щоб отримати число 100 (10 2=100). Якщо n - задане число, b - підстава і 1 - логарифм, то b 1=n. Число n також називається антилогарифмів по підставі b числа 1. Наприклад, антилогарифмів 2 по підставі 10 дорівнює 100. Сказане можна записати у вигляді співвідношень 10g bn=1 якщо з геометричною прогресією 1,?, ?? ,? ?, ... Зіставити арифметичну прогресію порядкових номерів її членів 1, 2, 3, 4, ..., то добуток двох членів першої а? і а? буде членом тієї ж прогресії, порядковий номер якого дорівнює сумі порядкових номерів множників без одиниці, т. е. m + n - 1. з цілком ясною вказівкою на те, що добутку двох членів геометричній прогресії відповідає в арифметичній прогресії член, рівний сумі тих, які відповідають множників.
° служіння в арифметичній прогресії відповідає множення в геометричних.
° віднімання в арифметичній прогресії відповідає поділ в геометричних.
° Простому множенню (т. е. числа на число) в арифметичній прогресії в геометричних відповідає множення на себе (піднесення в ступінь). Так, подвоєння члена арифметичної прогресії в геометричній відповідає зведення в квадрат.
" поділок в арифметичних прогресіях відповідає добування кореня в геометричних.
Формула a logab=b (де b gt; 0, a gt; 0 і a? 1) називають основним логарифмическим тотожністю.
Основні властивості логарифмів.:
За будь-яких a gt; 0 і (a? 1) і будь-яких позитивних x і y виконані рівності:
1 °
°
°
°.
°
для будь-якого дійсного p.
Для доказу правила 3 ??° скористаємося основним логарифмическим тотожністю:
х=alogaх у=alogaу
перемножая почленно ці рівності, отримуємо:
ху=alogaх · alogaу=alogaх + logaу
т.е. ху=alogaх + logaу
Отже, за визначенням логарифма
Для доказу правила 5 ° скористаємося тотожністю х=alogaх звідки xp=(alogaх) p=a? logaх. Отже, за визначенням
Основна властивість логарифмів широко застосовується в ході перетворення виразів. містять логарифми. Доведемо, наприклад, формулу переходу від однієї підстави логарифма до іншого підставі:
Ця формула вірна, якщо обидві частини мають сенс, тобто при х gt; 0, a gt; 0 і a? 1, b gt; 0 і b? 1.
За правилом логарифмирования ступеня і основному логарифмическому тотожності отримуємо:
звідки
розділивши обидві частини отриманого рівності на, приходимо до потрібної формулою.
П р і м е р и:
3 81=4, оскільки 34=81; 1/3 27=- 3, так як (1/3) 3=33=27.
десятковий логарифм називається логарифм по підставі 10. Він позначається lg, тобто 1оg 10 N=lg N. Логарифми чисел 10, 100, 1000, ... дорівнюють відповідно 1, 2, 3, ..., Тобто мають стільки позитивних одиниць, скільки нулів стоїть в логаріфміруемом числі після одиниці. Логарифми чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... дорівнюють відповідно - 1, - 2, - 3, ..., Тобто мають стільки негативних одиниць, скільки нулів стоїть в логаріфміруемом числі перед одиницею (рахуючи і нуль цілих). Логарифми інших чисел мають дробову частину, звану мантисою. Ціла частина логарифма називається характеристикою. Для практичного застосування десяткові логарифми найбільш зручні.
Натуральним логарифмом називається логарифм по підставі е. Він позначається ln, тобто 1оg е N=ln N. Число е є ірраціональним, його наближене значення 2.718281828. Воно є межею, до якого прагне число (1 + 1/n) n при необмеженому зростанні n. Як це не здасться дивним, натуральні логарифми виявилися дуже зручними при про веденні різного роду операцій, пов'язаних з аналізом функцій. Обчислення логарифмів по підставі е здійснюється набагато швидше, ніж з будь-якого іншого підставі.
Кількість е є ірраціональним числом - числом, несумірним з одиницею, воно не може бути точно вираженим ні цілим ні дробовим раціональним числом.
Буква ті - перша буква латинського слова exponere - виставляти напоказ, звідси в математиці назва експоненціальна - показова функція. Число е широко застосовується в математиці, і у всіх науках, так чи інакше застосовують для своїх потреб математичні розрахунки.
§3. Введення логарифма в шкільному курсі математики як площа під гіперболою
