лен Лагранжа В
Нехай на відрізку [ a, b ] деяка функція f (x ) задана лише в деяких точках, тобто відомі її значення, які, збирають в таблицю:
x
x 0
x 1
...
x n
f (x)
y 0
y 1
...
y n
Крім того, нехай задана деяка точка. Побудуємо за таблицею наступний многочлен:.
Цей многочлен називається многочленом Лагранжа . p> Його основні характеристики:
1) це - многочлен ступеня;
2), тобто многочлен Лагранжа має в точках ті ж значення, що і функція;
3) якщо фіксувати будь-яке число то виявиться виконаним нерівність
де на ділянці, тобто число обмежує похідну го порядку функції.
Сказане означає, що якщо функція задана своєю таблицею і потрібно знайти значення десь в проміжній точці c, то можна за таблицею побудувати многочлен Лагранжа і його значення в цій точці прийняти за значення функції. Відшукання проміжного значення функції називається інтерполяцією ; коли це робиться за допомогою многочлена Лагранжа, то говорять про інтерполяційними многочлене Лагранжа або про інтерполяції за Лагранжем.
Приклад. Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції заданої таблицею
x
1
2
3
5
y
1
5
14
81
І знайти значення функції при x = 4.
Рішення. Використовуючи формулу Лагранжа знайдемо:
Після деяких перетворень отримаємо Тоді f (4) ≈ L3 (4) = 36,5.
Інтерполяційні многочлени Стірлінга і Бесселя
В < p> Взявши середнє арифметичне першої та другої інтерполяційних формул Гаусса
і
