p>
, отримаємо формулу Стірлінга
де.
Легко бачити, що при.
Крім формули Стірлінга, часто вживається формула Бесселя. Для виведення цієї формули скористаємося другий інтерполяційної формулою Гаусса
. p> Візьмемо равностоящих вузлів інтерполяції з кроком, і нехай - задані значення функції.
Якщо вибрати за початкові значення і, то, використовуючи вузли, будемо мати:
.
Приймемо тепер за початкові значення і і використовуємо вузли. Тоді, причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині попередньої формули зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині цієї формули на і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:
.
Взявши середнє арифметичне формул, після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя
В В
де.
Інтерполяційна формула Бесселя, як слід зі способу отримання її, представляє собою поліном, що співпадає з даною функцією в точках.
Тригонометричне інтерполювання
Нехай функція f ( х ) представлена ​​на деякому відрізку [0, 2p] таблицею значень f ( х i ) в
рівновіддалених вузлах х i = 2p ( i- 1) / (2 N + 1), i = 1, 2, ..., 2 N + 1 . Тоді тригонометричним інтерполюються многочленом назвемо багаточлен ступеня m види:
.
Завдання тригонометричної інтерполяції полягає в побудові тригонометричного полінома, який би найбільш повно задовольняв умовам Р m ( х i ) = f ( х i ) для будь-якого i = 1, 2, ..., 2 N + 1 .
Можна показати, що рішенням цього завдання є поліном саме того виду, коефіцієнти якого обчислюють за такими формулами:
;
;
.
Інтерполяція сплайнами
Нехай відрізок [a, b] розбитий на n рівних частин [X i , x i +1 ], де x i = a + ih, i = 0, ..., n, x n = b, p> h = (b-a)/n.
Сплайни називається функція, яка разом з декількома похідними неперервна на всьому заданому відрізку [a, b], а на кожному частковому відрізку [x i , x i +1 ] окремо є деяким алгебраїчним многочленом.
Максимальна по всіх частковим відрізкам ступінь многочленів називається ступенем сплайна, а різниця між ступенем сплайна та порядком найвищої неперервної на [a, b] похідної - дефектом сплайна.
На практиці широкого поширення набули сплайни третього ступеня, мають на [a, b] безперервну, принаймні, першу похідну. Ці сплайни називаються кубічними і позначаються S 3 (x). p> Нехай на відрізку [a, b] у вузлах сітки D задані значення деякої функції
f i = f (x <...
