чисел, які задовольняють якомусь рівнянню з раціональними коефіцієнтами. Комплексні корені рівняння з алгебраїчними коефіцієнтами є і справді алгебраїчними не тільки над полем алгебраїчних чисел, а й над полем раціональних чисел, тобто самі є алгебраїчними числами. p> Тут ми покажемо, як побудувати алгебраїчно замкнуте розширення довільно заданого поля P і притому чисто алгебраїчним шляхом. Штейніц належить наступна
Основна теорема. Для кожного поля P існує алгебраїчно замкнуте алгебраїчне розширення W. З точністю до еквівалентності це розширення визначено однозначно: будь-які два алгебраїчно замкнутих алгебраїчних розширення W, W 'Поля P еквівалентні. p> Доведенню цієї теореми ми повинні передувати кілька лем:
Лемма 1. Нехай W, - алгебраїчне розширення поля Р. Достатньою умовою для того, щоб W було алгебраїчно замкнутим, є розкладання на лінійні множники будь-якого многочлена з P [x] в кільці W [x]. p> Доказ. Нехай f (x) - довільний многочлен з W [x]. Якщо він не розкладається на лінійні множники, то можна приєднати певний його корінь a і прийти до власного надполю W '. Елемент a є алгебраїчним над W, а W є алгебраїчним розширенням поля P; отже, елемент a алгебраичен і над Р. Тому він є коренем н екоторие многочлена g (x) з P [x]. Цей многочлен розкладається в W [x] на лінійні множники. Отже, a-корінь деякого лінійного множника в W [x], тобто належить полю W, що суперечить припущенню. p> Лемма 2. Якщо поле P цілком впорядковано, то кільце многочленів P [x] може бути цілком впорядковано і притому так, що в цьому впорядкування полі P буде відрізком. p> Доказ. Визначимо відношення порядку між многочленами f (x) з P [x] наступним чином: нехай f (x)
<
