justify"> Всі попередні методи пошуку оптимуму функції були призначені для задач безумовної оптимізації. Нижче буде розібраний метод штрафних функцій, один з багатьох, призначених для вирішення більш складних завдань, в яких область пошуку обмежена з будь-яких практичних міркувань. p align="justify"> Суть методу полягає в перетворенні вихідної цільової функції за допомогою включення в неї функції від обмежень, отримуючи, таким чином, завдання безумовної оптимізації, для вирішення якої можна використовувати розглянуті в першій частині методи. Перехід від завдання умовної оптимізації до задачі безумовної оптимізації здійснюється за допомогою включення у вихідну функцію "штрафів" за порушення обмежень задачі. p align="justify"> Нехай вихідна задача має наступний вигляд:
при обмеженнях:
В
Тоді перетворена завдання визначиться виразом:
В
де - штрафна функція від обмежень задачі, а - штрафний параметр. Наявність штрафного параметра викликано тим, що введення штрафний функції сильно деформує поверхню цільової функції, що, в свою чергу, призводить до погіршення обумовленості перетвореної завдання. Тому параметр служить "регулятором" ваги штрафний складової в цільової функції, і процес вирішення завдання розбивається на ряд допоміжних завдань з різними значеннями параметра і контролем збіжності їх рішень. p> Види штрафів:
Квадратичний штраф має вигляд:. Цей вид штрафів використовується для обліку обмежень - рівностей. Функція неперервна і має неперервну похідну, звідки випливає, що якщо безупинні і діфференцируєми і, то стаціонарну точку можна знайти аналітично. p> Логарифмічний штраф.
В
Цей штраф позитивний для всіх таких, що, і від'ємний при. Логарифмічний штраф - це бар'єрна функція, невизначена в точках, де. Тому на початковому етапі пошуку, коли значення кроку пошуку невелика, необхідно забезпечити захист процедури від попадання робочої точки в неприпустиму область. p> Штраф, заданий зворотною функцією.
В
Як і попередній штраф, є бар'єрним. У допустимої області поблизу кордону значення штрафу швидко убуває при просуванні всередину допустимої області. На самій межі значення не визначено, як і в попередньому випадку можлива поява недопустимих точок.
Штраф типу квадрата зрізання.
,
В
Цей штраф є зовнішнім, і неприпустимі точки не створюють проблем в порівнянні з допустимими. Різниця полягає тому, що в допустимих точках штраф дорівнює нулю. Цей вид штрафу зручний тим, що безперервна і визначена всюди. Параметр позитивний і збільшується від ітерації до ітерації. p> Алгоритм методу:
Крок 1. Задати початкові дані:
- початкова точка
- початкове значення штраф параметра
- параметр закінчення роботи алгоритму
Крок 2. Побудувати штрафну функцію:
В
Крок 3. Знаходимо, що доставляє екстремум, методом Ньютона. p> Крок 4. Чи виконується умо...
