функцією першого порядку, що має нескінченно багато нулів ? n таких, що 0? Re ? n ? 1,? n ? 0, причому ряд розходиться, а ряд
В
сходиться при будь-якому ? > 0. Нулі ? (s, ? ) є нетривіальними нулями L (s, ? ) .
Доказ. При Re? 1/2
В В
Остання оцінка | ? (s, ? ) | чинності функціонального рівняння (9) з В§ 4 і рівності
В
справедлива також при Re s ? (0, ? )? 0. Оскільки In Г (s) ~ s ln s при s -> +?, По теоремі 5.3 отримуємо перше твердження теореми. Так як L (s, ? )? 0 при Re s> l, то з
В
випливає, що ? (s, ? )? 0 при Re s <0, т. о. нулі ? (s, ? ) є нетривіальними нулями L (s, ? ), лежать смузі 0? Re s? l. Теорема доведена.
В§ 6. Узагальнена гіпотеза Рімана
Функція ? (s) визначена для всіх комплексних s? 1, і має нулі для негативних цілих s = - 2, -4, -6 .... З функціонального рівняння
,
і явного вираження
при Re s> 1 випливає, що всі інші нулі, тобто нетривіальні, розташовані в смузі 0? Re s? 1 симетрично щодо критичної лінії . Гіпотеза Рімана стверджує, що:
Всі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, рівну .
Узагальнена гіпотеза Рімана складається з того ж самого твердження для узагальнень дзета-функцій, тобто L-функцій Дирихле
