n> x k + m .
У рівнянні k парне кратних і m непарній кратних коренів. Воно розкладається на (k + m) рівнянь, з яких легко виходять коріння. Якщо задати початковий відрізок [-x 1 -r,-x 1 + r], де r - мало, і перевірити умова зміни знака функції з його межах, то виявимо, що знак не змінюється в силу парності ступеня. А якщо аналогічно перевірити непарній кратні коріння, то отримаємо зворотну ситуацію.
Слідство 1.
Якщо корінь має парну кратність, то на кордонах нескінченно малого відрізка з центром у цьому корені функція має однакові знаки.
Слідство 2.
Якщо корінь має непарну кратність, то на кордонах нескінченно малого відрізка з центром у цьому корені функція має різні знаки.
Нехай на заданому відрізку [a, b] лежить 1 корінь парною кратності, тоді в силу слідства 1 на кордонах відрізка знак мінятися не буде, що означає зупинку виконання ітерацій і недосягнення необхідної точності. Якщо ж на відрізку [a, b] лежить 1 четно кратний корінь і 1 непарній кратний корінь, то четно кратний корінь буде просто ігнорувати методом, тому що умова зміни знака є також основною умовою, за допомогою якого визначається корінь на поточному полуотрезке, в силу слідства 1 не виконається. Отже, четно кратний корінь не може бути знайдений за допомогою даного методу. p align="justify"> Твердження 2. Якщо на кінцях початкового відрізка значення функції мають один знак, то метод може не зійтися, тобто, можливо, жоден з коріння не буде знайдений із заданою точністю. p align="justify"> Твердження 3. Якщо на кінцях початкового відрізка значення функції мають різні знаки, то буде знайдений із заданою точністю один з коренів лежать на ньому. p align="justify"> Метод січних
У цьому методі, на відміну від методу Ньютона, проводяться не дотичні, а січні (Мал. 10). З малюнка легко отримати итерационную формулу:
.
В
В якості початкового наближення необхідно задати не тільки x 0 , а й x 1 . Метод січних має одну перевагу перед методом Ньютона - тут не потрібно обчислювати похідну. Але цей метод має також суттєві недоліки. Збіжність ітерацій може бути немонотонної не тільки далеко від кореня, але і в малій околиці кореня [7, C.39].
У знаменнику формули стоїть різниця значень функції. Далеко від кореня це не суттєво; але поблизу кореня, особливо кореня високої кратності, значення функції малі і дуже близькі. Виникає втрата значущих ци...
