зано вище, Абель не зміг дати загальний критерій розв'язності рівнянь з числовими коефіцієнтами в радикалах. Але рішення і цього питання не змусило себе довго чекати. Воно належить Еварісті Галуа (1811 - 1832), французькому математику, який помер, як і Абель, в дуже молодому віці. Його життя, коротка, але наповнена активної політичної боротьбою, пристрасний інтерес до математичних занять представляють яскравий приклад того, як у діяльності обдарованої людини накопичені передумови науки втілюються в якісно новий етап її розвитку. p> Галуа встиг написати мало робіт. У російській виданні його роботи, рукописи і чорнові записи зайняли лише 120 сторінок у книзі маленького формату. Але значення цих робіт величезне. Тому розглянемо його задуми і результати докладніше. p> Серед кількох заміток і статей, опублікованих ще за життя Галуа, найбільш чудова стаття В«З теорії чиселВ» (Sur la theorie | desnombres. - Bull. sci. math., 1830). У цій статті Галуа розглядав поліноміальні порівняння виду
В
Галуа звертає у своїй роботі увагу на випадок, коли порівняння не має цілих коренів. Він пише, що В«тоді коріння цього порівняння потрібно розглядати як рід уявних символів, так як вони не задовольняють вимогам, що пред'являються до цілих числах; роль цих символів в обчисленні буде часто настільки ж корисною, як роль уявного в звичайному аналізіВ». Далі він розглядає по суті справи конструкцію приєднання до поля кореня неприводимого рівняння (явно виділяючи вимога непріводімим) і доводить ряд теорем про кінцевих полях. См [Колмогоров]
Взагалі, основна проблема, розглянута Галуа, - це проблема можливості розв'язання в радикалах загальних алгебраїчних рівнянь, причому не тільки у випадку рівнянь 5-го ступеня, розглянутому Абелем. Головною метою Галуа всіх досліджень Галуа в цій області було знайти критерій розв'язності для всіх алгебраїчних рівнянь. p> У зв'язку з цим, розглянемо більш детально зміст основної роботи Галуа В«Мемуар про умови розв'язності рівнянь в радикалахВ» (Memoiresur les conditions de resolubilite des equations par radicaux. - J. math, pures et appl., 1846).
Розглянемо слідом за Галуа рівняння: см [Рибніков]
В
Для нього визначимо область раціональності - сукупність раціональних функцій від коефіцієнтів рівняння:
В
Область раціональності R є полем, тобто сукупністю елементів, замкнутої по відношенню до чотирьох дій. Якщо - раціональні, то R - поле раціональних чисел; якщо ж коефіцієнти - довільні величини, то R є поле елементів виду:
В
Тут чисельник і знаменник - многочлени. Область раціональності можна розширити, приєднуючи до неї елементи, наприклад корені рівняння. Якщо до цієї області приєднати всі корені рівняння, то питання про можливість розв'язання рівняння робиться тривіальним. Завдання разрешимости рівняння в радикалах може ставитися тільки по відношенню до певної област...
