і раціональності. Він вказує, що можна змінювати область раціональності, приєднуючи як відомі нові кількості. p> При цьому Галуа пише: В«Ми побачимо, понад те, що властивості і труднощі рівняння можуть бути зроблені абсолютно різними згідно кількостей, що до нього приєднаніВ».
Галуа довів, що для всякого рівняння, можна в тій же області раціональності знайти деякий рівняння, зване нормальним. Коріння даного рівняння і відповідного нормального рівняння виражаються один через одного раціонально. p> Після докази цього твердження випливає цікаве зауваження Галуа: В«Чудово, що з цієї пропозиції можна укласти, що всяке рівняння залежить від такого допоміжного рівняння, що всі корені цього нового рівняння є раціональними функціями один одногоВ»
Аналіз зауваження Галуа дає нам наступне визначення для нормального рівняння:
Нормальне рівняння - це рівняння, що володіє тим властивістю, що всі його коріння раціонально виражаються через один з них і елементи поля коефіцієнтів.
Прикладом нормального рівняння буде рівняння: Його коріння
В
Нормальним також буде, наприклад, квадратне рівняння.
Варто, однак, відзначити, що Галуа не зупиняється на спеціальному вивченні нормальних рівнянь, він зазначає тільки, що таке рівняння В«легше вирішити, ніж яке-небудь іншеВ». Галуа переходить до розгляду підстановок коренів. p> Він каже що, всі підстановки коренів нормального рівняння утворюють групу G. Це і є група Галуа рівняння Q, або, що те ж саме, рівняння Вона володіє, як з'ясував Галуа, чудовою властивістю: будь-яке раціональне співвідношення між корінням і елементами поля R инвариантно щодо підстановок групи G. Таким чином, Галуа пов'язав з кожним рівнянням групу підстановок його коріння. Він же ввів (1830) термін В«групаВ» - адекватне сучасному, хоча і не настільки формалізоване визначення. p> Структура групи Галуа виявилася пов'язаною із завданням разрешимости рівнянь в радикалах. Щоб разрешимость мала місце, необхідно і достатньо, щоб відповідна група Галуа була залагодити. Це означає, що в даній групі існує ланцюжок нормальних дільників з простими індексами. br/>В
Нагадаємо, до речі, що нормальні подільники, або, що те ж саме, інваріантні підгрупи - це такі підгрупи групи G, для яких справедливо
В
де g - елемент групи G.
Загальні алгебраїчні рівняння при, взагалі кажучи, такого ланцюжка не мають, так як групи підстановок мають тільки один нормальний дільник індексу 2 - підгрупу всіх парних підстановок. Тому ці рівняння в радикалах, взагалі кажучи, неможливо розв'язати. (І ми бачимо зв'язок результату Галуа і результату Абеля.) p align="justify"> Галуа сформулював наступну фундаментальну теорему:
Для будь-якого наперед заданого рівняння і будь-якій області раціональності існує група перестановок коренів цього рівняння, що володіє тим властивістю, що будь-яка раціональна функція - тобто функція, побудована за допомогою раціонал...
