радикальне вираження не може бути універсальним виразом коренів рівняння даної ступеня, більшою ніж четверта.
Варто відзначити, що докази Абеля не дають можливості виділити класи рівнянь, розв'язаних в радикалах. Вони не знімають також можливості такої можливості розв'язання для рівнянь з чисельними коефіцієнтами підбором підходящих иррациональностей в конкретному випадку. Дослідження треба було розширювати. Перед Абелем, як і свого часу перед Лагранжем, встала загальна проблема можливості розв'язання - основна проблема класичної теорії Галуа. p align="justify"> Перед смертю Абель працював над завданням визначення всіх алгебраїчно розв'язаних рівнянь. У 1829 році Абель в В«Мемуарах про одне особливому класі алгебраїчно розв'язаних рівняньВ» досліджував циклічні рівняння, слідуючи в за Лагранжем, який виявив цей клас у свій час. Абель відшукав для них явні вирази коренів через коефіцієнти. Крім того, він розглянув ще один клас вирішуваних рівнянь, які по суті є нормальними рівняннями з комутативної (абелевої) групою Галуа. p align="justify"> Спираючись на інформацію з книги [Колмогорова] розповімо докладніше про зміст мемуара Абеля 1829
Першим і дуже важливим кроком було явне введення поняття області раціональності, аналога сучасного поняття поля. Абель дав таке визначення:
Область раціональності щодо величин - це безліч всіляких величин, отриманих з величин і речових (або раціональних) чисел за допомогою чотирьох арифметичних дій (звичайно, слово безліч їм не вживалося).
Введення цього поняття вкрай істотно для скільки небудь загальних досліджень в теорії рівнянь.
Другим істотним кроком є ​​доказ можливості розв'язання чудового класу рівнянь. Цей клас Абель визначає двома умовами:
. Кожен корінь рівняння виражається у вигляді раціональної функції від фіксованого кореня. p>. Раціональні функції мають властивість. p> Ідея роботи виникла у Абеля при дослідженні рівняння лемніскати, про який згадує Гаус в В«Арифметичних дослідженняхВ». Робота Абеля істотно доповнює і розвиває ідеї Гаусса і є помітним вкладом у теорію алгебраїчних рівнянь. p> Підводячи підсумок даного розділу, хотілося б сказати наступне.
Роботи Абеля принесли велику користь. Їх поява наблизило момент, коли теорія груп стала з'являтися скрізь і всюди і царюватиме в математиці. Абель по суті довів теорему еквівалентну теоремі Галуа:
Щоб неприводимого рівняння було вирішуване в радикалах, необхідно і достатньо, щоб всі корені були раціональними функціями двох відомих коренів.
Абель досліджував структуру кількох конкретних класів розв'язаних груп. Фактично Абель досліджував структуру комутативними груп. Він показав, що ці групи є творами циклічних груп. Однак поняття групи у нього ще не було виділено. Крім того, загального критерію можливості розв'язання він не отримав. br/>
3.4 Теорія Галуа
Як було ска...
