Поблизу еліптичної точки поверхня являє собою частину еліпсоїда. У близи гіперболічної точки поверхня являє собою гіперболічний параболоїд, а поблизу параболічної точки - циліндр.
Головні осі індикатриси Дюпена. Формула Ейлера. Головні кривизни поверхні в даній точці.
індикатрис Дюпена можна привести до головних осей, тобто ми повинні до системи координат, осі якої є головними осями індикатриси Дюпена. Рівняння індикатрис Дюпена буде канонічним:
.
,
,
Підставами в:
, т.к. якщо + і -, якщо.
1) Нехай?=0
- значення нормальної кривизни в першому головному напрямку індикатриси Дюпена.
)
- значення нормальної кривизни в другому головному напрямку індикатриси Дюпена. Формула (25) перетворюється в
- формула Ейлера.
Визначення: і називаються головними кривизнами поверхні в даній точці.
Затвердження 4.
і є екстремальними значеннями нормальної кривизни, якщо індікатріса Дюпена НЕ коло.
Доказ:
Продифференцируем (26) за?:
,
1)
))
)
У разі 2), індікатріса Дюпена - коло, не залежить від?.
У разі
, то min
, то max
, то - max
, то - min
Визначення: Точка Р, в якій, називається омбіліческой (індікатріса Дюпена - окружність).
Питання: як визначити головні напрямки індикатриси Дюпена і обчислити головні кривизни, не переходячи до іншої системи координат?
Характеристичне рівняння поверхні в даній точці. Повна і середня кривизни поверхні.
,,
- задає напрям дотичній.
Нехай спочатку змінюється,.
Продифференцируем по, при цьому розглядаємо лише екстремальні значення:
екстремально, задає екстремальне напрямок.
Нехай змінюється,.
Продифференцируем (27) за в точці екстремального значення:
.
система рівнянь, рішення якої визначає головний напрямок, при цьому або. Це система лінійних однорідних рівнянь на, рішення якої буде ненульовим, у разі, якщо її визначник дорівнює нулю.
.
Розпишемо і отримаємо:
,
,
.
Визначення: Н - середня кривизна поверхні в даній точці,
К - повна кривизна поверхні в даній точці.
Рішення рівняння (32) є. Дискримінант:
.
За теоремою Вієта:
,
.
Повна кривизна,, знак До визначається знаком:
K> 0, то точка Р - еліптична,
K <0, то точка Р - гіперболічна,
К=0, то точка Р - параболічна.
Рівняння (32) називається характеристичним рівняння поверхні в точці Р.
СФЕРИЧНИЙ зображення поверхні. Роль гауссова кривизни при сферичному зображенні поверхні.
Розглянемо поверхню, в кожній точці Р можна побудувати нормальний вектор і розглянемо довільну точку О. Точка Р відповідає початку вектора.
Радіус сфери поодинокий. Точка М на сфері відповідає точці Р на поверхні. Радіус-вектор точок на сфері збігається з вектором.
Визначення: Безліч точок на сфері одиничного радіусу назива...
