чці Р в напрямку даного нормального перетину.
Доказ:
,
Нормальне розтин - плоска крива, нормаль плоскої кривої збігається з головною нормаллю,.
, доведемо, що.
лежить у площині нормального перетину і перпендикулярний дотичній нормального перетину; перпендикулярний дотичній площині і лежить в площині нормального перетину, отже, перпендикулярний дотичній нормального перетину, отже,.
.
Визначення:, тоді нормальне перетин називається увігнутим. Якщо, то нормальне перетин називається опуклим.
Опукле нормальний переріз.
Увігнуте нормальний переріз.
Теорема 1 (Меньє).
Проведемо в точці Р поверхні нормальне і похилий переріз із загальною дотичній. Тоді проекція центру кривизни нормального перетину на площину похилого перерізу збігається з центром кривизни похилого перерізу.
Доказ:
В силу твердження 2: (*),
(**).
.
кут між площинами нормального і похилого перерізу (гострий).
.
+, якщо, для увігнутих нормальних перетинів;
-, якщо, для опуклих нормальних перетинів.
.
Підставами цю формулу і (**) в (*):
, отже,,
,
,
.
Індикатриса Дюпена.
Визначення: Проведемо в точці Р поверхні дотичну площину і в ній відкладемо від цієї точки відрізок довжини, де - нормальна кривизна поверхні в точці Р в напрямку, в якому відкладається відрізок у дотичній площині. Протилежний кінець відрізка опише криву в дотичній площині, яка називається індикатрис Дюпена.
Рівняння індикатриси Дюпена.
Задамо в дотичній площині систему координат Pxy, з базисом.
.
Осі Px і Py повинні бути дотичними до координатних лініях і відповідно.
.
Нехай точка М на індикатрис Дюпена (в дотичній площині).
,
,
.
.
.
Помножимо чисельник і знаменник лівої дробу на, отримаємо з використанням рівності:
,
отже,,
- рівняння індикатриси Дюпена в заданій системі координат в дотичній площині.
Види індикатрис Дюпена. Типи точок на поверхні.
Індикатриса Дюпена - крива другого порядку, в рівнянні якої відсутній доданки першого ступеня.
Інваріант
. Якщо, отже, індікатріса Дюпена - еліпс, і крапка Р на поверхні називається еліптичною.
. Якщо, отже, індікатріса Дюпена - пара суміжних гіпербол, точка Р називається гіперболічної.
. Якщо, тоді індікатріса Дюпена - пара паралельних прямих, точка Р називається параболічної.
Приклади:
1. На еліпсоїді всі крапки еліптичні.
2. На однополостного Гіперболоїд і гіперболічного параболоїда всі крапки гіперболічні.
. На торі всі три типи точок на поверхні присутні:
У зовнішній частині тора - еліптичні точки, у внутрішній частині - гіперболічні точки, а на колах, які поділяють зовнішню і внутрішню частини - параболічні точки. ...
