ється сферичним зображенням поверхні.
На сфері координатні вектори -, на поверхні -, тоді - на сфері, - на поверхні, отже, - на поверхні.
Через? позначимо площа області на поверхні, а - площа області на сфері.
За формулою Лагранжа,. Розглянемо зв'язок між цими двома виразами.- Компланарні, вони перпендикулярні вектору (координатні вектори перпендикулярні нормальним векторам). На поверхні лежать в дотичній площині, а вектор перпендикулярний дотичній площині; визначають дотичну площину до сфери, радіус-вектор сфери є нормальним вектором.
Отже, отже,, так як всі вектори лежать в одній площині, а векторне твір перпендикулярно векторним множників.
,
використовуючи Теорему про середню, отримаємо:, де - кривизна К, обчислена в деякій одній точці даній області, площа якої ми вважаємо.
.
При і - праві трійки векторів,
при - ліва трійка векторів,
прі.
Внутрішня геометрія поверхні.
визначення??: Вигинання поверхні називається топологічний відображення поверхні (гомеоморфизм), яке виключає розтягування і стиснення.
Визначення: Властивості поверхні, які не змінюються при згинаннях, складають так звану внутрішню геометрію поверхні.
Приклади:
1. Довжина дуги кривої на поверхні відноситься до внутрішньої геометрії поверхні, отже, перша квадратична форма поверхні відноситься до внутрішньої геометрії.
2. Кут між двома кривими відноситься до внутрішньої геометрії поверхні.
. Площа області на поверхні відноситься до внутрішньої геометрії.
. Нормальна кривизна кривої на поверхні, отже, і друга квадратична форма не відносяться до внутрішньої геометрії поверхні.
Індексні позначення в диференціальної геометрії поверхонь.
Позначимо:,,,
,
Перша квадратична форма описується матрицею:
.
.
Правило Ейнштейна: якщо у творі індекс зустрічається один у верху і один раз внизу, то за цим індексом передбачається підсумовування, при цьому знак суми не пишеться.
.
,
,
,
де,
.
,, тоді.
Супроводжуючий тригранник поверхні.
Дериваційні формули.
Розглянемо в кожній точці поверхні три вектора: - вони є напрямними векторами ребер супроводжуючого тригранника поверхні.
Розкладемо похідні цих векторів за цими ж векторах.
(в силу твердження 1 векторного аналізу), (так як лежить в дотичній площині, а лежить в площині, перпендикулярній дотичної площини). Скалярно помножимо на дериваційні формулу I роду:
, в силу того, що, отримаємо:
Скалярно помножимо на дериваційні формулу I роду:
. Врахуємо при цьому, що:
Отже, підставивши (37), отримаємо,, але в свою чергу
.
і підсумуємо по k
, так як, в підсумку отримали:
.
.
Скалярно помножимо на дериваційні формулу II роду:
, в силу того, що, отримаємо, що. Врахуємо при цьому, що:
.
Скалярно помножимо на дериваційні формулу II роду:
, так як. Використовую...
