налізованим як аксіоми).
Лінійна залежність і незалежність векторів
. Вектор аm називається лінійною комбінацією векторів a1, a2, ..., am-1, якщо am = l 1a1 + l 2a2 + ... + l m-1am- 1,
де l 1, l < span align = "justify"> 2, ..., l m-1 - якісь числа.
. Вектори a1, a2, ..., am називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа l 1, l 2, ..., l m, нерівні одночасно нулю, що
l 1a1 + l 2a2 + ... + l m-1am = 0. (1)
Якщо рівність (1) виконується тільки при l 1 = l 2 = ... = l m = 0, то вектори a1 , a2, ..., am називаються лінійно незалежними.
. Розмірність простору - максимальне число містяться в ньому лінійно незалежних векторів.
Базисом n-мірного простору називається сукупність n лінійно незалежних векторів.
Розкладання вектора х по базису (e1, e2, ..., en):
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen,
де х1, х2, ..., хn - координати вектора.
Евклід простір
Евклідовому простором називається лінійне (векторне) простір, в якому задано скалярний добуток векторів, що задовольняє певним ознаками.
Скалярним твором двох векторів x = (х1, х2, ..., хn) і y = (у1, у2, ..., уn) називається кількість
(x, y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn =
Скалярний твір має характеристики:
1. (х, у) = (у, х)
2. (x, y + z) = (y, x) + (x, z)
3. ( a x, y) = a (x, y)
. (x, x) > 0, якщо х-ненульовий вектор; (х, х) = 0, якщо х - нульовий вектор.
Довжиною (нормою) вектора х в евклідовому просторі називається корінь квадратний з його скалярного квадрата:
В
Мають місце наступні властивості довжини вектора:
1. Г· х Г· < span align = "justify"> = 0 тоді і тільки тоді, коли х = 0;
2. Г· l х Г· = Г· l Г· Г· х Г· , де l - дійсне число;
. Г· (х, у) Г· ВЈ Г· х Г· Г· у Г· (нерівність Коші - Буняковського);
. Г· х + в Г· ВЈ Г· х Г· + Г· у Г·
