an> (нерівність трикутника).
ТЕМА 8. Лінійні оператори
Визначення
Якщо заданий закон, за яким кожному вектору х простору ставиться у відповідність єдиний вектор у простору. , То говорять, що задано оператор А (х), чинний з в: у = А (х). Розглядаємо випадок, коли простору і збігаються. p> Оператор А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів х і у простору і будь-якого числа l вірні співвідношення:
А (х + у) = А (х) + А (у),
А (l х) = Lа (х).
Вектор у = А (х) називається чином вектора х, а сам вектор х - прообразом вектора у.
Зв'язок між вектором х, і його чином у = А (х) може бути представлена ​​у вигляді: у = Ах,
де А - матриця лінійного оператора; x = (х1, х2, ..., хn) Вў, у = (у1, у2, ..., уn) Вў - вектори, що записуються у вигляді вектор-стовпців.
Дії над лінійними операторами
Сума та добуток лінійних операторів, а також твір лінійного оператора на кількість визначаються рівністю:
В В В
Нульовим Про (х) і тотожним Е (х) називаються оператори, діючі за правилом: Про (х) = 0, Е (х) = х.
Матриці А та лінійного оператора в вбазисах (e1, e2, ..., en) і пов'язані співвідношенням:
В
де С - матриця переходу від старого базису до нового.
Власні вектори і власні значення оператора (матриці)
1. Вектор х В№ 0 називається власним вектором лінійного оператора (або матриці А), якщо знайдеться таке число l, що
(х) = l х або
Ах = l х. (1)
Число l називається власним (характеристичним) значенням (числом) оператора (або матриці А), відповідним вектору х.
Визначення (1) може бути записано у вигляді:
(А - l Е) х = 0.
2. Характеристичним рівнянням оператора (або матриці А) називається рівняння:
В
де визначник Г· А - l Е Г· називається характеристичним многочленом оператора (або матриці А).
Характеристичний многочлен лінійного оператора не залежить від вибору базису.
. Матриця оператора в базисі, що складається з його власних векторів з власними значеннями l1, l2, ..., ln, є діагональної:
В
І назад. Якщо матриця А лінійного оператора в деякому базисі є діагональною, то всі вектори цього базису - власні вектори оператора з власними значеннями l1, l2 ..., ln. br/>
ТЕМА 9. Квадратичні форми
Визначення
квадратичною формою F, яка залежить від n змінних x1, x2, ..., xn називається функція виду
F = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + ... + ann xn2 =,
де aij = aji (i, j = +1, ..., n) - речові числа.
Симетрична матриця A = (aij) (i, j = +1, ..., n) називається матрицею квадратичної форми F.
Якщо змінні x1, x2, ..., xn інтерпретувати як координати змінного вектора x в деякому ортонормированном базисі e1, e2, ..., en n-мірного евклідового простору, то матриця A є матриця деякого самосопряженних оператора в цьому базисі. Тоді
aij xi xj = (x, x).
Дійсно, нехай x = xi ei і його образ y = x. Тоді i-а координата образу yi = (x) i = aijxj. Підставляючи цей вираз у формулу для скалярного твору в ортонормированном базисі, отримаємо
(x, x) = xi yi = aij xi xj = F
Приведення квадратичної форми до канонічного виду
Якщо розглядати матрицю квадратичної форми як матрицю деякого самосопряженних оператора, то, очевидно, її вигляд буде залежати від вибору базису.
Базис, в якому квадратична форма F має вигляд:
F =? i (xi ') 2 (1)
називається канонічним базисом, а вираз (1)-канонічним виглядом квадратичної форми.
У всякого самосопряженних оператора існує ортонормованій базис з власних векторів f1, f2, ..., fn, відповідних власним значенням ? 1, ? 2, ..., ? n (серед яких можуть бути рівні). У цьому базисі f1, f2, ..., fn квадратична форма щодо нових змінних x1 ', x2', ..., xn 'має канонічний вигляд.
Зауваження. Одна і та ж квадратична форма може бути приведена до канонічного виду багатьма способами, тому канонічний вид визначений неоднозначно. p> Теорема. Квадратичну форму F = aij xi xj можна привести до канонічного виду за допомогою ортогонального п...
