агальний розв'язок системи. p>. Надаючи вільним невідомим довільні значення, отримаємо відповідні значення головних невідомих. p> Таким чином, можна знайти приватні рішення вихідної системи рівнянь.
Метод Гаусса розв'язання систем лінійних рівнянь
Нехай дана система рівнянь (1). Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система приводиться до східчастого (зокрема, трикутного) виду. p align="justify"> Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:
a11x1 + a12x2 + ... + a1kxk + ... + a1nxn = b1,
a22x2 + ... + a2kxk + ... + a2nxn = b2, (2)
.............................. + ... + aknxn = bk,
де k ВЈ n, aii В№ 0, i = 1,2, ..., k. Коефіцієнти АII називаються головними елементами системи. Якщо у процесі приведення системи (1) до східчастого увазі з'являються нульові рівняння, тобто рівності виду 0 = 0, їх відкидають. Якщо ж з'являються рівняння виду 0 = bi, а bi В№ 0, то це свідчить про несумісності системи.
На другому етапі (зворотний хід) йде послідовне визначення невідомих з цієї ступеневої системи. В останньому рівнянні системи (2) виражає перші невідоме хк через інші невідомі (хк +1, ..., хn). Потім підставляємо значення хк в передостаннє рівняння системи і висловлюємо хк-1 через (хк +1, ..., xn), потім знаходимо хк-2, ..., х1. Надаючи вільним невідомим (хк +1, ..., xn) довільні значення, отримаємо незліченна безліч рішень системи. p align="justify"> Зауваження: 1. Якщо ступенева система виявляється трикутної, тобто к = n, то вихідна система має єдине рішення. З останнього рівняння знаходимо xn, з передостаннього рівняння xn-1, далі піднімаючись по системі вгору, знайдемо всі інші невідомі (xn-2, ..., x1). p align="justify"> На практиці зручніше працювати не системою (1), а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт а11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на а11 В№ 1).
ТЕМА 7. n - мірне векторний простір
Визначення n-мірного вектора
n-мірним вектором називається упорядкована сукупність n дійсних чисел х = (х1, х2, ..., хn), де хi - i-я компонента вектора x (i = 1, ..., n).
Вектори x = (х1, х2, ..., хn) і y = (у1, у2, ..., уn) рівні, тобто х = у, якщо xi = yi, (i = 1,2, ..., n).
Твором вектора х = (х1, х2, ..., xn) на число l називається вектор u = l x, якщо ui = l xi (i = 1,2, ..., n).
Сумою двох векторів x = (х1, х2, ..., хn) і y = (у1, у2, ..., уn) називається вектор z = x + y, якщо zi = xi + yi (i = 1,2, ..., n).
Лінійні операції над будь-якими векторами задовольняють наступним властивостям:
1. x + y = y + x - коммутативное (переместітельного) властивість суми;
2. (x + y) + z = x + (y + z)-асоціативне (сочетательное) властивість суми;
. a ( b x) = ( ab ) x - асоціативне щодо числового множника властивість;
. a (x + y) = a x + b y-дистрибутивное (розподільчий) щодо суми векторів властивість;
. ( a + b ) x = a x + b x - дистрибутивное щодо суми числових множників властивість.
Поняття n-мірного векторного простору
Векторним (лінійним) простором називається безліч векторів (елементів) з дійсними компонентами, в якому визначені операції додавання векторів і множення вектора на число, що задовольняє наведеним вище властивостям (а...
