r />
Х =,
де Xj непорожні и попарно НЕ перетінаються, візначає деяке відношення еквівалентності, а самє x? х laquo ;, если існує такий індекс j? J, что x, х ? Xj. У цьом випадка підмножіні Xj є класами еквівалентності для цього відношення.
2.4.1 Фактор-множини
Віходячі Із сказаного КОЖЕН клас еквівалентності Xj є підмножіною множини X, что складається з елементів, еквівалентніх Деяк фіксованому елементи цієї множини. Тому можна Розглянуто и множини всех класів еквівалентності, якові звічайна назівають фактор-множини за данім відношенням еквівалентності R и позначають Наступний чином Х/R. Если через K (x) позначіті клас еквівалентності елемента x, то K (x) є елементом фактор-множини та x? K (x).
Можна дати просту інтерпретацію фактор-множини на прикладах відношень еквівалентності, наведення Ранее (1, 2, 3, 4, 5):
) фактор-множини - це множини Zm ціліх чисел, порівняніх за модулем m;
) чинник- множини - це множини напрямленості прямих на площіні;
) чинник- множини - це множини місяців року. Вона может мати менше 12 місяців, бо в аудіторії может НЕ віявітіся студентов, Які народи в одному з місяців, скажімо в лютому.
. 4.2 Рівнопотужні множини
Розглянемо відображення з множини натуральних чисел N в множини парних натуральних чисел N2, Пожалуйста шкірному натуральному числу ставити біля відповідність подвоєне число, тобто бієктівне відображення f (п)=2п. Тоді можна Сказати, что існує Стільки парних натуральних чисел, скільки й натуральних, а такоже, что y випадка нескінченних множини может існуваті бієктівне відображення деякої множини на ее підмножіну, яка Відмінна від самой множини. Завдяк Поняття бієктівного відображення можна порівнюваті между собою нескінченні множини.
Дві множини X та Y назіваються рівнопотужнімі, если існує прінаймні Одне бієктівне відображення f: X? Y.
Відношення X рівнопотужна Y є відношенням еквівалентності между множини. Клас еквівалентності, тобто клас всех множини рівнопотужніх даній множіні, назівається потужністю або кардинально числом.
Скінченні кардінальні числа - це класи еквівалентності скінченних множини. ЦІ числа за визначенням є натуральними числами 0, 1, 2, ....
Слід відзначіті, что ми пріймаємо як Первін Поняття натуральні числа, но їх строге математичне визначення й достатньо складне. Як наслідок нелегко apriori означіті скінченні множини. Часто за визначенням вважають множини скінченною, если вона НЕ рівнопотужна ніякій зі своих підмножін, відмінніх від самой множини, а потім доводять, что кардинально число має Властивості натуральних чисел.
Перейдемо до двох найбільш Важлива нескінченних потужностей: потужності зчісленіх множини и потужності континууму.
. 4.3 Зчісленні множини
множини назівається зчісленною, если вона рівнопотужна множіні натуральних чисел N. множини зчісленна, если існує хоча б один бієкція цієї множини в множини N. Іншімі словами, множини зчісленна, если ее елементи можна пронумеруваті натуральне число и номери НЕ БУДУТЬ повторюватіся.
Ранее ми з ясувалося, что множини парних натуральних чисел N2 є зчісленною.
задам відображення f: Z? N так: f (z)=2z при z gt; 0, f (z)=2 | z | +1 при z? 0. Воно бієктівне І, значити, множини ціліх чисел Z такоже є зчісленною.
Покажемо, что множини N? N рівнопотужна множіні N. Дійсно, з Наведеної далі схеми
бачим, что відображення, тобто f: N? N? N є бієкцією.
Інший варіант бієктівного відображення f: N? N? N наведено далі.
Покажемо, что множини Z? Z рівнопотужна множіні N. Далі наведено схему, яка задає відповідне бієктівне відображення f: Z? Z? N
Таким чином, множини Z? Z такоже є зчісленною.
2.4.4 Потужність континууму
Теорема 2 (Кантора). Множини дійсніх чисел з інтервалу (0, 1) не є зчісленною.
Дійсно, доведемо, что множини X=(0, 1) дійсніх чисел, Які задовольняють нерівність 0? x? 1, що не є зчісленною.
Доведення Проведемо від протилежних. Припустиме, что X зчісленна ї існує Деяка бієкція N на Х, тобто елементи X могут буті запісані y виде деякої послідовності x1, x2, x3, ..., елементи якої попарно Різні. Крім того, розглянемо дійсне число? , Пожалуйста візначімо так: перед комою поставімо 0, потім як j-й десятковій знак віберемо Довільне ціле число между 1 і 8, Пожалуйста ві...
