дрізняється від j-го десяткового знака числа хj. Таким способом ми утворюємо нескінченній Дріб, что візначає деяке число?. Для довільного натурального j маємо таке. Оскількі j-й десятковій знак числа? відрізняється від j-го десяткового знака числа хj и всі десяткові знаки числа? відрізняються від 0 и 9, то? ? хj (Не допускаємо знаків 0 и 9, бо 0,102000 ... і 0,101999 ... Одне и ті ж самє число). Значити число? НЕ збігається ні з одним з чисел послідовності x1, x2, x3, ... Мі ОТРИМАНО суперечність. Це й доводити теорему.
Будемо Потужність множини X=(0, 1) назіваті потужністю континууму. Потужність континууму - це такоже Потужність множини всех дійсніх чисел, оскількі є бієкцією (0, 1) на R.
Дійсно, нехай x1? x2 Припустиме, что суперечність Отже, це відображення ін єктівне.
Це відображення такоже є сюр єктівнім, бо з рівності.
Наведемо без доведення теорему.
Теорема 3 (Бернштейна). Нехай X та Y - две довільні множини. Тоді 1) або існує ін єкція X в Y, або існує ін єкція Y в X (обідві обставинні НЕ віключають один одну); 2) если існує одночасно ін єкція X в Y та ін єкція Y в X, то існує такоже бієкція X на Y.
Наслідок. Для завдання множини X та Y є только трьох возможности:
а) існує ін єкція X в Y и не існує ін єкція Y в X. У цьом випадка говорять, что Y має Потужність строго більшу потужності X, або что X має Потужність, строго Меншем потужності Y;
б) існує ін єкція Y в X и не існує ін єкція X в Y. Тоді X має Потужність строго більшу потужності Y або Y має Потужність, строго Меншем потужності X;
в) існує бієкція X в Y. У цьом випадка кажуть, что X и Y мают однаково Потужність або рівнопотужні.
Теорема 4. Якою б НЕ булу множини X, множини ее підмножін має Потужність, строго більшу потужності X.
Віходячі з останньої теореми, для нескінченних множини існує нескінченне число класів рівнопотужніх множини.
на завершення сформулюємо континуум-гіпотезу. Согласно цієї гіпотезі, клас множини P (N) іде Одразу за класом множини N (тобто между ними не можна Вставити проміжній клас). Узагальнена континуум-гіпотеза Полягає в пріпущенні, что при довільній множіні X клас множини P (X) іде безпосередно за класом множини X. Доведено (П. Коен, 1968 р.), Что континуум-гіпотеза НЕ має решение - ее НЕ можливо ані довести , ані спростуваті, можна только Прийняти ее або протилежних Їй тверджень як аксіому.
. 5 Операції над бінарнімі відношеннямі
Так як відношення на множіні задаються підмножінамі, то для них Визначні ті ж операции, что ї над множини, а самє:
. Об'єднання:
.
. Перетінання:
.
3. Різниця:
.
. Доповнення:
, де.
Крім того, необходимо візначіті Інші, щє не Знайомі нам, операции над бінарнімі відношеннямі.
. Обернене відношення.
Визначення. Если - відношення, то відношення назівається оберненім відношенням до даного відношення тоді й только тоді, коли.
например, если - буті старіше raquo ;, то - буті молодшая raquo ;; если - буті дружиною raquo ;, то - буті чоловіком raquo ;.
Нехай або. У такому випадка.
Приклад. Знайте відношення, обернене даного.
розв язання:
.
. Композиція (або Складення відношення):
Визначення. Нехай - відношення на, а - відношення на. Композіцією відношень и назівається відношення, певне як
.
Ця множини позначається
.
Зокрема, если відношення визначене на множіні, то композиція візначається як
.
Приклад. Нехай,,, и нехай відношення на і на задані у виде
;
.
Знайте композіцію.
розв язання:
і; ; і; ;
і; ; і; ;
і; ; і;.
і; ;
Отже,.
Приклад. Нехай і - бінарні відношення, задані на множіні додатних ціліх чисел у виде і. Знайте композіції і.
...
