n="justify"> w і може бути внесений під інтеграл згортки і помножений на (d (w + w o ) + d (ww o ), що, як вже розглядалося раніше (див. 1.2.6 - 1.2.8), при зворотному перетворенні Фур'є дає u (t ) Г— sin ( w o t).
Аналогічно можна показати, що
H [u (t) Г— sin ( w o t)] =-u (t) Г— cos ( w o t ). (1.3.7)
.1.4 Обчислення перетворення Гільберта
Перетворення Гільберта аналогових сигналів доцільно виконувати не за формулами лінійної згортки з оператором 1/t, який прагне до ВҐ при t Гћ 0, а через спектр аналітичної функції:
z (t) = x (t) + j Г— (t) Г› X (f) + j Г— ( f) = Z (f). (1.4.1)
Замінюючи в цьому виразі функцію (f) =-j sgn (f) Г— X (f), отримуємо:
Z (f) = [1 + sgn (f)] Г— X (f), (1.4. 2)
де функція 1 + sgn (f) дорівнює 0 при f <0, 1 при f = 0 і 2 при f> 0, при цьому:
Z (f) = , (1.4.2 ')
тобто спектр функції z (t) є одностороннім і встановлюється безпосередньо по спектру функції x (t) при f Ві 0 (див. також (1.2.13 )). Зворотне перетворення Фур'є функції Z (f) має давати комплексну функцію z (t), при цьому з (1.4.2 ') випливає:
x (t) = Re [2 X (f) exp (j2ft) df], (1.4.3)
(t) = Im [2 X (f) exp (j2ft) df]. (1.4.3 ')
У дискретній формі, при загальному числі N відліків функції x (t) з кроком t і з кроком по частоті f = 1/(Nt):
(n? f) =? t x (k? t) Г— exp (-j2kn/N), n = 0,1, ..., N/2. (1.4.4)
х (k? t) = 2? f Г— Re [ X (n? f) Г— exp (j2kn/N)]. (1.4.5 ')
(k? t) = 2? f Г— Im [ X (n? f) Г— exp (j2kn/N )]. (1.4.5)
В
Рис. 1.4.1
На Рис.1.4.1 наведено приклад перетворення Гільберта, виконаний через частотну область. На малюнку видно, що сигнал, відновлений по (1.4.5 '), зміщений вниз на величину середнього значення вихідного сигналу x (t). При формуванні аналітичної функції по (1.4.1, 1.1.4) в якості дійсної частини функції слід використовувати вихідний сигнал x (t), а не його форму по (1.4.5 '). p align="justify"> Оператор дискретного перетворення Гільберта hb (k? t) Гњ 1/t на інтервалі від-Т до Т з кроком? t можна отримати зворотним перетворенням Фур'є частотної характеристики Hb (f) (вираз 1.2.5) в інтервалі від-f N до f N (f N = 1/2? t). При? T = 1:
(k? t) = Hb (f) exp (j2fk? t) df = j exp (j2fk ? t) df - j exp (j2fk? t)
df =
= [1/(2kt)]
