женню рівноважного рівня Фермі (= - (EF/q)), то концентрація електронів і дірок, представляється у вигляді:
; (11)
, (12)
де p0 і n0 - рівноважні концентрації дірок і електронів.
Виходячи з вище викладеного, рівняння Пуассона представляється у вигляді:
. (13)
За нуль електричного потенціалу приймається положення рівня Фермі у власному кремнії. Тоді концентрації n, p (у припущенні справедливості статистики Больцмана) пов'язані з їх квазіпотенціаламі Фермі jn, jp і потенціалом j наступним чином:
; (14)
; (15)
, (16)
де nie - ефективна концентрація електронів.
Перш ніж, приступити до поданням рівнянь в різницевій формі, необхідно їх спростити. Для того, щоб позбутися від постійних коефіцієнтів і перевести коефіцієнти в діапазон чисел, зручний для представлення в ЕОМ, всі змінні і параметри нормуються на коефіцієнти. Є різні способи подання нормованих коефіцієнтів. Приклад одного з таких способів представлений в таблиці 1 [36]:
Таблиця 1? Нормувальні коефіцієнти для базової системи рівнянь
ВелічіниКоеффіціентиДліна Час Електростатичний потенціал Докладене напруга Дифузійний потенціал Електричне поле Щільність носіїв заряду n, p Концентрація домішки Загальний. Електронний і дірковий струм Швидкість генерації - рекомбінації Коефіцієнт дифузії носіїв заряду Рухливість носіїв Провідність Ємність/єдиний. площі
Після проведення нормировки, базової системи рівнянь цим способом базова система рівнянь в загальному вигляді приймає наступний вигляд:
; (17)
; (18)
; (19)
; (20)
; (21)
Для представлення систем рівнянь, що описують роботу напівпровідникових приладів, існує кілька базисів змінних. Представлена ??вище базова система рівнянь записана в базисі (j, n, p). У базисі (j, jn, jp) система рівнянь (17-21) представляється у вигляді
; (22)
; (23)
; (24)
; (25)
; (26)
. (27)
Очевидним достоїнством цього методу є його універсальність, тобто можливість використовувати для широкого кола завдань при моделюванні напівпровідникових приладів.
Недоліком методу є вимога великого обсягу пам'яті і значні витрати машинного часу. Тому при вирішенні ряду конкретних завдань вводяться певні спрощення.
При необхідності в рішення лінійних алгебраїчних систем, матриці яких, будучи слабо заповненими, тобто що містять трохи ненульових елементів, успішно використовується метод прогону. Серед таких систем виділимо системи стрічкової (або трехдіагональной) структури. До таких систем зводиться рішення крайових задач для диференціальних рівнянь методами кінцевих різниць, кінцевих елементів та ін. Для вирішення систем з стрічковими матрицями метод Гаусса можна трансформувати у більш ефективні методи [37, 38].
Будемо шукати рішення такої системи, кожне рівняння якої пов'язує три" сусідніх» невідомих:
, (28)
де i=1,2, ... n; b1=0; dn=0. Такі рівняння називаються триточковими рівняннями другого порядку. Система має трехдіагональной структуру, що добре видно з наступного еквівалентного, векторно-матричного вистави:
(29)
Рішення знаходять за формулою:
, (30)
де - коефіцієнти.
Перетворюючи отримати отримуємо:
. (31)
З умови b1=0 отримуємо
. (32)
При i=n чинності dn=0 отримаємо dn=0, отримаємо
. (33)
Таким чином, рішення рівняння (28) методом прогонки зводиться до обчислення так званих прогоночних коефіцієнтів за формулами (31) (пряма прогонка) і потім отримання невідомих xi за формулою (30) (зворотна прогонка). Рішення буде стійким при
. (34)
Для використання рівняння при вирішенні краєвих диференціальних рівнянь необхідно додатково знаходити коефіцієнти рівняння (28). Тобто для вирішення системи алгебраїчних рівнянь необхідно визначити прогоночние коефіцієнти, на основі яких проводиться рішення.
Розглянемо рішення методом прогонки рівняння Пуассона. У загальному вигляді, коли коефіцієнт дифузії не є постійною величиною, рівняння дифузії може бути представлено:
, (35)
де С - концентрація диффундирующих частинок.
Уявімо рівняння Пуассона у вигляді системи нелінійних різницевих рівнянь. Розіб'ємо всю область моделювання на малі інтервали D х (малюнок 18). Якщо функція потенціалу змінюється нерівномірно (як часто буває в напівпровідникових приладах) сітка розбиття може бути і нерівномірною. Для створення такої сітки необхідний додатковий алгоритм її генерації.
Малюнок 18? Вивчення функцій в дискретному вигляді
...
