Похідну на інтервалі апроксимують виразом, аналогічно на інтервалі -. Така апроксимація можлива, якщо кроки розбиття досить малі, і функцію на інтервалі можна представити у вигляді лінійного наближення. Щоб написати рівняння Пуассона в різницевій формі для апроксимації другої похідної, ліву частину рівняння дифузії можна представити у вигляді:
. (36)
Праву частину рівняння Пуассона для точки i представимо у вигляді.
. (37)
Рівняння Пуассона в різницевій формі для i-й точки може бути записано
. (38)
При розбитті інтервалу моделювання на n дискретних точок таких рівнянь може бути складено n - 2. Ще два рівняння складаються виходячи з граничних умов на лівій і правій межах інтервалу моделювання.
. (39)
де i=2, 3, 4 ... .т - 1.
Однак при цьому перестає дотримуватися вимога. Але ця проблема легко вирішується, якщо скористатися методом, аналогічним методом змінних напрямків, використовуваному для вирішення двовимірних диференціальних рівнянь. Частина змінних лівій частині перенесемо в праву з певним коефіцієнтом a. Тоді прогоночние коефіцієнти будуть виглядати наступним чином і умова стійкості рішення в методі прогонки буде дотримуватися.
, (40)
Вибір коефіцієнтів для 1 і т точок визначається граничними умовами, тобто потенціалами на кордонах. Для правої межі? M =? N:
. (41)
На лівій межі? 1 =? р
. (42)
Рішення рівняння відбувається в кілька ітерацій до тих пір, поки різниця між двома послідовними наближеннями не стане менше наперед заданою похибкою. Аналогічним чином знаходимо прогоночние коефіцієнти для рішення рівняння безперервності. Уявімо рівняння неперервності в різницевій формі, з урахуванням, що вирішувати рівняння неперервності будемо для нерівноважних носіїв заряду.
(43)
. (44)
Перебудуємо отриманий вираз наступним чином
(45)
. (46)
Таким чином, прогоночние коефіцієнти записуються наступним чином
(47)
Аналогічним чином знаходимо прогоночние коефіцієнти для рішення рівняння безперервності для генерованих електронів
(48)
В якості граничних умов використовуються
. (49)
(50)
де S - швидкість поверхневої рекомбінації.
Рівняння Пуассона і безперервності вирішуються спільно послідовними ітераціями, до тих пір, поки різниця між двома послідовними наближеннями різниця станемо менше необхідної точності.
.2 Програмна середа для моделювання характеристик кремнієвих бета-стимульованих джерел
Створення перетворювачів іонізуючого випромінювання вимагає врахування цілого ряду параметрів, які впливають на процес формування струму. Одночасний облік поглинання енергії електронів, перенесення генерованих носіїв заряду, їх рекомбінацію, включаючи рекомбінацію на кордонах шарів і поверхневу, вимагає комп'ютерного моделювання.
З метою оптимізації конструкції кремнієвих структур розроблена програма моделювання спектральних характеристик, що включає в себе вирішення наступних завдань:
формування структури, включаючи послідовність і розміри шарів, їх електричні характеристики, з можливістю зміни параметрів в процесі моделювання;
моделювання розподілу електричного потенціалу та електричного поля в структурі;
моделювання розподілу генерованих носіїв заряду в кремнієвої структурі відповідно до розподілу швидкості генерації рухливих носіїв заряду і напруженості електричного поля в структурі;
розрахунок переносу носіїв заряду при формуванні радіаційно-стимульованих струмів;
Програма дозволяє пошарово створювати структуру, задаючи матеріал, кількість шарів, тип провідності, рівень легування і товщину кожного шару. Далі, для кожного шару задаються його напівпровідникові характеристики.
Положення рівня фермі і концентрації електронів і дірок у напівпровіднику при заданому рівні легування виходять з чисельного рішення рівняння електронейтральності:
. (51)
де Nd і Na - концентрації донорів і акцепторів;
n і p - концентрації електронів і дірок.
Концентрації n і p визначаються за допомогою виразів
, (52)
. (53)
де - інтеграл Фермі.
Ці рівняння дозволяють розраховувати параметри напівпровідників, а так само вироджених, в загальному вигляді.
Для розробленої структури числено вирішується рівняння Пуассона методом кінцевих різниць, з метою отримання розподілу електричного потенціалу та напруженості електричного поля всередині структури. Отримані розподіли електричного потенціалу і напруженості електричного поля дозволяють провести моделювання зонної діаграми струк...
