ань. p> Повернемося до загально випадка. Кількість усіх можливіть сприятливі комбінацій N = C k n . Підставівші це у формулу (2), матімемо
В
Формулу (3) назівають ще формулою Бернуллі.
Приклад 1. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0.95. Яка ймовірність того, что среди десяти деталей: а) позбав одна нестандартна; б) больше однієї нестандартної?
а) Нехай Подія А Полягає в тому, что среди десяти деталей позбав одна нестандартна. Тоді маємо п = 10, k = 1, р = 0,05. За формулою (3)
В
б) Нехай Подія У Полягає в тому, что среди десяти деталь не больше однієї нестандартної. Тоді
В
ЗА УМОВИ Шукало ймовірність Р = Р (А U В). Події А і В несумісні, тому Р = Р (А) + Р (В). Отже,
В
Приклад 2. Що більш імовірно: віграті у Рівного Собі гравцям в шахи 4 партії з 8 чі 3 партії з 5? Нічії віключаються. Позначімо Першу подію А, другу - В. Тоді маємо
В
Отже, Р (В)> Р (А).
Набір чисел Р п (k), де k = 1, 2, ..., п, назівається біноміальнім розподілом. ВІН поклади від двох параметрів: п, р. p> Властивості:
В
2) Р n (k) спочатку зростають до якогось найбільшого значення, а спадають:
В
Найімовірніше число Успіхів О» в схемі Бернуллі задовольняє нерівності
В
Приклад 3. Гральний кубик підкідають 35 разів. Яке найімовірніше число появи Грані з одним очком?
В
Отже, Дістали два значення: О» = 5, О» = 6.
В§ 14. Граничні теореми Бернуллі
При й достатньо Великій кількості випробувань n безпосереднє обчислення ймовірності Р п (K) за формулою Бернуллі ускладнюється. Для Спрощення обчислень Р п (k) запропоновано ряд набліженіх формул. p> теореми, в якіх навідні Такі формули, назіваються Граничну теоремами схеми Бернуллі.
Локальна теорема Лапласа. Если ймовірність р появи події А у кожному віпробуванні стала (0 <р <1), то ймовірність Р п (k) того, что Подія А появится k разів у п незалежних випробуваннях, набліжено дорівнює (тим точніше, чім больше п)
В
Значення Функції П† (x) знаходять за таблицями (дів. Додатки, табл. 4). br/>В
Деякі Властивості Функції П† (x):
1) Визначи на всій чісловій осі;
2) парна, тоб П† (-x) = П† (x)
В
Графік Функції Гаусса наведено на рис. 308. br/>
Приклад 1. Знайте ймовірність того, Що з 500 вісіяніх насінин НЕ зійде 130, ЯКЩО схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,75.
В
В
Графік Функції Лапласа наведено на рис. 309. br/>
Приклад 2. Ймовірність появи події в кожному Зі 100 незалежних випробувань дорівнює р = 0,8. Знайте ймовірність того, что Подія появится НЕ Менш як 70 разів.
Вимога, щоб Подія з'явилася не менше, чем 70 разів, означає, что Подія может з'явитися або 70 разів, або 71 разів, ... , Або 100 разів. Отже, в даним випадка покладемо k 1 , = 70, k 2 = 100 и скорістаємося інтегральною теоремою Лапласа. Тоді
В
За таблиці значень Ф (х) знаходимо Ф (-2,5) =-Ф (2,5) = -0,4938; Ф (5) = 0,5. За формулою (2) дістанемо
В
Теорема Пуассона. Если у схемі Бернуллі пр = О» - стала, то
В
Застосовується теорема при пр <10 у вігляді набліженої формули для великих значень п (не менше кількох десятків) та малих р (р <0,1):
В
Пуассона.
Приклад 3. Молокозавод відправів у магазин 500 пакетів молока. Ймовірність Пошкодження пакету при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайте ймовірність того, что при транспортуванні буде пошкоджено пакетів: 1) три, 2) менше трьох; 3) больше трьох; 4) хочай б один.
Число п = 500 ровері, ймовірність р = 0,002 <0,1, події (Пошкодження пакетів) незалежні; того можна скористати формулою Пуассона (3).
1) О» = пр = 500 О‡ 0.002 = 1. Ймовірність того, Що буде пошкоджено,
В
2) ймовірність того, Що буде пошкоджено менше трьох пакетів,
В
3) події "пошкоджено больше трьох пакетів" та "Пошкоджено НЕ більше" є протилежних, того
В
4) Подія "пошкоджено хочай б один пакет" є протилежних до події "Жоден пакет не пошкоджено." Тому Шукало ймовірність того, Що буде пошкоджено хочай б один пакет, дорівнює
В
В§ 15. Віпадкові розмірів
Одним Із основних зрозуміти Теорії ймовірностей є Поняття віпадкової Величини, з яким пов'язане уявлення про результати Деяк випробування, что Полягає у вімірюванні певної чіслової величину. Величина, яка Цікавить дослідника, может набуваті різніх значень залежних від випадкове обставинні. Прикладами Випадкове величин могут буті кількість очок, что віпадають на Грані гральної кості, кількість...
