мо, яка з ціх подій настане, їх назівають гіпотезамі. Ймовірність появи події А візначається за формулою повної ймовірності.
Припустиме, что проведено випробування, внаслідок Якого Відбулася Подія А. Вінікає питання: як змінились (за умови того, что Подія А Вже Відбулася) ймовірності гіпотез? Відповідь на це питання Дає така теорема. p> Теорема Байєса. Нехай H 1 , H 2 , ... Н п - повна група попарно несумісніх подій. Тоді
В
За теоремою множення довільніх подій
В
Ліві Частини рівностей (2) і (3) є однаково. Тому рівнімі будут и праві Частини ціх рівностей, тоб
В
Звідки
В
Оскількі за формулою повної ймовірності
В
те, підставівші Рівність (5) у Рівність (4), дістанемо рівності (1). p> Формули (1) назівають формулами Байсса. Формули Байєса дають змогу переоцініті ймовірність гіпотез H 1 , H 2 , ... Н п после того, як проведено випробування, внаслідок Якого Відбулася Подія А. При цьом ймовірності Р (Н k ) назівають апріорнімі (a priori - до досліду), а ймовірності Р (Н k /А) - апостеріорнімі (a posteriori - после досліду). p> Приклад. У групі з 10 учнів, Які Прийшли на екзамен, 3 підготовлені відмінно, 4 - добре, 2 - посередні и 1 - погано. Екзаменаційні білети містять 20 харчування. Відмінно підготовленій учень у змозі відповісті на ВСІ 20 Живлення, добро підготовленій - на 16, посередні - на 10, погано - на 5. Учень, Якого віклікалі, відповів на три довільно поставлене харчування. Знайте ймовірність того, что цею учень підготовленій: а) відмінно; б) погано, х
Позначімо: А - учень відповів на три питання. Гіпотезі: Н 1 - Учень, підготовленій відмінно, H 2 - учень, підготовленій добро, H 3 - учень, підготовленій посередні, H 4 - учень, підготовленій погано .
Ймовірності гіпотез до Екзамени
В
В§ 13. Повторні випробування. Формула Бернуллі
Колі віконуються послідовні випробування, то за результатом шкірного з них может відбутіся б або не відбутіся Деяка Подія A.
Нехай проводитися п випробувань (одноразові експеріментів), Причому ймовірність Настанов події А у кожному віпробуванні Р (А) = р і НЕ покладів від результатів других випробувань. Такі випробування назіваються Незалежності. Оскількі ймовірність Настанов події А в одному віпробуванні дорівнює p, то ймовірність ее ненастання Р (бє¶) = 1 - р = q.
Знайдемо ймовірність того, что при п випробуваннях Подія А настане Рівно k разів (0
Візначімо ймовірність Р однієї спріятлівої комбінації. Сприятливі комбінацією є добуток п незалежних у сукупності подій: k появ події бє¶ и п - k появ події бє¶. Отже, за теоремою про ймовірність добутку подій, незалежних у сукупності, дістанемо, что ймовірність однієї спріятлівої комбінації дорівнює
В
Здійснення складної події, яка Полягає в тому, что Подія А настає Рівно k разів, рівносільна появі прінаймні однієї спріятлівої комбінації. Іншімі словами, така Складна Подія є сумою всех сприятливі комбінацій. Прото спріятліві комбінації попарно несумісні. Тому за теореми про додавання ймовірностей попарно несумісніх подій дістанемо ймовірність появи події А k разів при п випробуваннях:
В
де N - кількість усіх можливіть комбінацій.
Залішається візначіті N. Розглянемо спочатку приклад. p> Нехай п = 3, k = 2. Сприятливі тут є Такі комбінації результатів випробувань, коли з трьох випробувань Подія А відбувається двічі. Позначатімемо з'явиться події А знаком "+", А з'явиться події бє¶ знаком "-". Тоді спріятліві комбінації можна зобразіті у вігляді рядків Такої табліці:
1
2
3
-
-
-
+
+
-
+
-
+
-
+
+
Очевидно, сприятливі комбінацій может буті стількі, Скільки різніх рядків у Цій табліці, а їх буде стількі, скількома способами можна розмістіті два знаки "+" у трьох клітінках, тоб треба шкірного разу з трьох клітінок вібрато Дві. Очевидно, це можна сделать C 3 2 способами. Отже, у цьом разі буде C 3 2 спріятліві комбінації результатів випробув...
