нями народження значно важливіше, ніж розглянутий епізод: ймовірності збігу будь-яких випадкових подій (не тільки днів народження) виявляються у багато (часом у десятки) разів більше, ніж це інтуїтивно представляється. І те, що ми зазвичай рахуємо фатальними збігами, насправді цілком нормальне явище.
Ось ще приклади, що підтверджують це правило.
ПРИКЛАД 4
В«Зі мною вчора сталося щось неймовірне: я зустрів на Невському свого шкільного приятеля, з яким не бачився 20 років В». Така або подібна фраза нерідко супроводжується невтішною оцінкою теорії ймовірностей: мовляв, ймовірності зустрітися не було ніякої, і ось на тобі.
Теорія ймовірностей між тим тут, як і в багатьох інших випадках, залишається на висоті. Той, хто засумнівався в її правильності, мабуть, міркував так: у Санкт-Петербурзі чотири з гаком мільйона жителів. Один з них - Згаданий шкільний товариш. Ймовірність такої зустрічі рівна приблизно однієї чотиримільйонної, тобто практично нулю. Чим же, як дивом, можна таку зустріч пояснити?
Зробимо грубу орієнтовну прикидку за допомогою теорії ймовірностей. Почнемо з того, що шкільний приятель у вас явно не один. Припустимо, що їх у вас в Санкт-Петербурзі 40 осіб. Це відразу ж збільшить ймовірність зустрічі в 40 разів, та вона стане дорівнює одній стотисячної.
Далі, поки ви прогулювалися по Невському повз вас пройшли по Принаймні тисяча осіб. Ймовірність виросла в 1000 разів і стала дорівнювати одній сотої. Це теж замало. Але ж на Невському ви бували не один раз, а, скажімо, 80. Ось вам ймовірність і піднялася до 80%. Тепер вже треба дивуватися не того, що зустріч на Невському відбулася, а тому, що це не сталося раніше.
ПРИКЛАД 5
Мій автомобіль забезпечений двома протиугінними пристроями - механічним і електричним. Кожне з них має свою ймовірність спрацьовування. Це не що інше, як надійність, яку можна встановити з досвіду: скільки разів із ста запобіжник спрацює. Так от, надійність механічного пристосування Р м = 0,9, а електричного - Р е = 0,8. p> Відомо, що ймовірність того, що спрацює якесь одне пристосування (нам абсолютно байдуже, яке саме), дорівнює сумі ймовірностей Р м і Р е . Але ймовірність другого запобіжника слід тут враховувати не повністю, а лише за умови, що перше пристосування не спрацює. Ми виходимо того, що якщо раніше спрацьовує, скажімо, механічне пристрій, то електричне вже не потрібно. Математична запис, мабуть буде зрозуміла:
Р м або Р е = Р м + Р е (1-Р м ). br/>
За цією формулою ймовірність ніколи не буде виходити більше одиниці. Підставляючи цифри, отримаємо:
Р м або Р е = 0,9 + 0,8 (1 - 0,9) = 0,98.
Що стосується ризику викрадення, то він, як неважко збагнути, дорівнює 1 - 0,98 = 0,02. p> При такому результаті машину досить спокійно можна залишати на вулиці: на сто спроб викрадення вдалих припадає лише дві. У житті, однак, таке кількість спроб викрасти вашу машину нереально, і, отже, пристосування практично працює надійно.
Цілком очевидно, що наведений щойно розрахунок корисно знати не тільки власникам індивідуального автотранспорту. Запобіжник від аварії і поломок - найважливіший елемент будь-якого сучасного приладу або механізму.
ПРИКЛАД 6
Наше підприємство збирається придбати електронний прилад. На прилад дається заводська гарантія. Знаючі люди попередили, що в нашому місті зараз можна придбати прилади, що випускаються трьома різними заводами, причому шанси отримати прилад заводу № 1 дорівнюють 0,6, заводу № 2 - 0,3, а заводу № 3 - 0,2. Якого заводу попадеться нам прилад, ми не знаємо; а між іншим, це далеко не байдуже: імовірності того, що прилад пропрацює без зупинки весь гарантійний термін, для кожного заводу різні. На заводі № 1 - 0,9, на заводі № 2 - 0,8, на заводі № 3-0,6.
Цікаво, яка ймовірність, що куплений прилад не доведеться відправляти назад на завод? Доведено, що ймовірність даного нас події дорівнює сумі твори ймовірностей отримання приладу того чи іншого заводу на відповідні ймовірності їх безвідмовної роботи.
Ймовірність роботи приладу протягом гарантійного терміну = 0,6 х 0,9 + 0,3 х 0,8 + 0,2 х 0,6 = 0,9. p> Мабуть, прилад купувати варто: з десяти покупців лише одному НЕ пощастить.
Формула, за якою ми виробляли розрахунок, має в теорії ймовірностей спеціальну назву - формула повної ймовірності. Вона може нагоді при визначенні ймовірності безвідмовної роботи протягом заданого часу не тільки приладів, але і будь-яких інших сучасних машин або механізмів - Промислових автоматів, електронно-обчислювальних машин та т. д.
ПРИКЛАД 7
Припустимо, ви задалися метою обов'язково вирішити якусь важку підприємницьку завдання, наприклад добитися великого прибутку, виход...
