них чисел. Аналогічним чином негативні нескінченно малі числа більше всіх стандартних негативних чисел. Таким чином, якщо намагатися зобразити нескінченно малі числа на числовій прямій, то довелося б втиснути їх настільки близько до нуля, щоб всі позитивні стандартні числа виявилися справа, а негативні - ліворуч.
Вказана властивість може служити визначенням нескінченної малості: якщо число e> 0 менше всіх стандартних позитивних чисел, те воно нескінченно мало. p> Визначення. Гіпердействітельное число А> 0 називається нескінченно великим, якщо А> 1, А> 1 +1, А> 1 +1 +1, .... (Негативне число В називається нескінченно великою, якщо такий його модуль)
Позитивне нескінченно велике число А більше будь-якого стандартного. p> Аналогічним чином всяке негативне нескінченно велике гіпердействітельное число менше будь-якого стандартного.
Визначення. Гіпердействітельние числа, які не є нескінченно великими, називатимуться кінцевими.
Затвердження. Якщо s - кінцеве гіпердействітельное число, то знайдуться стандратною v і нескінченно мале e, для яких s = v + e. Таке уявлення єдино.
Визначення. Стандартної частиною st (x) кінцевого гіпердействітельного числа x називається таке стандартне v, що x = v + e для нескінченно малого e.
Гіпердействітельная пряма розбивається на 3 частини (ліворуч направо): негативні нескінченно великі, кінцеві, позитивні нескінченно великі. Розглянемо В«кінцеву частинуВ» гіпердейсьвітельной прямій. Поруч з кожним стандартним дійсним числом а розташовано безліч нескінченно близьких до нього гіпердействітельних чисел, для яких а є стандратною частиною. Це безліч називають монадою стандартного числа а . Безліч кінцевих гіпердействітельних чисел розбите на непересічні класи - монади, що відповідають стандартним дійсним. p> Сума і різниця нескінченно малих нескінченно малі, твір нескінченно малого і кінцевого гіпердействітельних чисел нескінченно мало.
Визначення. Два гіпердействітельних числа називаються нескінченно близькими, якщо їх різниця нескінченно мала. p> З наведених вище властивостей нескінченно малих слід, що ставлення нескінченної близькості є відношення еквівалентності. Це означає, що ставлення нескінченно близькості рефлексивно (кожне x нескінченно близько самому собі), симетрично (якщо x бескон близько до y, то y нескінченно близько до x) і транзитивно (якщо x бескон близько до y, а y нескінченно близько до z, то x нескінченно близько до z). Всяке ставлення еквівалентності розбиває безліч, на якому воно визначене на непересічні класи, причому будь-які два елементи одного класу еквівалентні, а будь-які два елементи різних класів не еквівалентні. Зокрема, наше ставлення розбиває * R на непересічні класи, причому елементи одного класу нескінченно близькі один до одного, а елементи різних класів - немає. Класи, що містять стандартні дійсні числа, являють собою згаду...
