вані вище В«монадиВ».
5. ПРИКЛАД неархимедовой ЧИСЛОВОЇ СИСТЕМИ
До цих пір мова йшла про гіпердействітельной прямий (а точніше, будь-якому неархимедовой розширенні упорядкованого поля дійсних чисел). Виникає питання - чи існує хоча б одне таке распшреніе. Побудуємо таке розширення. p> Основна ідея цього побудови може бути описана в одній фразі так: у нас немає об'єктів, але є імена для них; так оголосимо ж імена об'єктами! Ця (часто застосовувана в математичній логіці) ідея конкретизується в нашому випадку наступним чином.
Ми знаємо, що в нашому (поки що не побудованому і невідомо існуючому чи) розширенні повинне бути хоча б одне нескінченно мале позитивне гіпердействітельное число. Позначимо його через e. Оскільки гіпердействітельние числа можна множити один на одного (і, зокрема, на дійсні числа), то поряд з e в нашому розширенні будуть і числа 2e, 0,5 e і взагалі всі числа виду a e, де а - довільне стандартне дійсне число. Більше того, число e можна множити і на себе, тому в нашому розширенні будуть матися e 2 , e 3 , 2e 2 , Зe 2 +2 e +1, ... і взагалі все гіпердействітельние числа виду Р (e), де P - многочлен зі стандартними дійсними коефіцієнтами. p> Безліч чисел такого виду замкнуто щодо складання, вирахування і множення. Це означає, що, складаючи, віднімаючи або перемножая два числа такого виду, ми знову отримаємо число такого ж виду. Але для гіпердействітельних чисел визначено ще і ділення. Тому в розширенні будуть і числа виду Р (e)/Q (e), де P і Q - многочлени зі стандартними дійсними коефіцієнтами. Після цього ми отримуємо безліч гіпердействптельних чисел, замкнутий щодо всіх арифметичних операцій: складаючи, віднімаючи, множачи або ділячи два дроби зазначеного виду за звичайними правилами, отримуємо дріб та-кого ж виду.
Таким чином, не маючи поки шуканого розширення, ми вже змогли назвати деякі його елементи, дати їм імена. Цими іменами є записи виду P (e)/Q (e), де e - деякий символ. Більше того, ми можемо судити і про те, яка з двох записів позначає більше число. Справді, досить вміти визначати, позначає чи дана запис позитивне, негативне або нульове число (оскільки а> b тоді і тільки тоді, коли a - b > 0 ). Знак дробу можна визначити за знакам чисельника і знаменника, отже досить уміти визначати знак P (e), де Р - многочлен. Це робиться так. Легко ви-діти, що знак величини a 0 + a 1 e + ... збігається зі знаком a 0 , якщо a 0 <> ; 0 . В насправді, добавка a 1 e + ... нескінченно мала, а складаючи позитивне (від'ємне) число з нескінченно малим, ми отримуємо позитивне (відповідно негативне) число. Можливий, проте, випадок a 0 = 0. Будемо вважати для визначеності, що e - позитивне нескінченно мале. Винесемо з нашого многочлена e найбільшою можливою с...
